няє відповідним крайовим і початковим умовам, представляється суперпозицією нормальних хвиль
,
де - постійні комплексні амплітуди; - Число нормальних хвиль-го типу. Виникає питання - чи є істотна різниця між цими двома системами, інакше кажучи, - наскільки істотно присутність малої нелінійності. У відповідності з теорією нормальних форм (див. наприклад [4]), рішення рівнянь (4) шукається у формі майже тотожного перетворення змінних, тобто
(6)
де - невідома-мірна векторна функція, компоненти якої формально представіми поруч по, тобто майже билинейная форма:
(7),
Наприклад
В
де і - невідомі коефіцієнти, що підлягають визначенню. При підстановці (6) в (4), виходять наступні диференціальні рівняння з приватними похідними для знаходження:
.
Очевидно, що власні числа оператора, що діє на поліноміальні компоненти функції, тобто , являють собою лінійні цілочисельні комбінації власних чисел оператора при різних значеннях векторів.
У першому наближенні виходять лінійні рівняння для знаходження нормалізуючого перетворення:
.
Всякої поліноміальної компоненті відповідає власне число, тобто , Де
або
,
в той час як в найнижчими наближенні розкладання по.
Аналогічно, у другому наближенні розкладання рішення по:
В
власні значення оператора можна виразити в наступному вигляді:, де. Продовжуючи і далі подібні ітераційні процедури, можна побудувати шукане перетворення (7).
Таким чином, якщо хоча б одне власне значення оператора прагне до нуля,, то відповідні коефіцієнти ряду (7) прагнуть до нескінченності, тобто кажуть, що в системі настає резонанс порядку. У Інакше, якщо власні значення оператора не дорівнюють нулю, то системи (4) і (5) називаються формально еквівалентними , оскільки ряд (7) все ж може бути розбіжним. Якщо ж виявляється обмеженою аналітичної функцією, то системи (4) і (5) вважаються аналітично еквівалентними .
У теорії нормальних форм існує основна теорема Пуанкаре, накладає одночасно дуже сильні умови на спектральні параметри системи і на коефіцієнти нормалізуючого перетворення, для того щоб дві підходящі різні системи звичайних диференціальних рівнянь виявилися аналітично еквівалентними. У безлічі завдань про коливаннях нелінійних механічних систем умови теореми Пуанкаре, як правило, не виконуються. Наприклад, основні типи резонансів другого порядку асоціюються з трьоххвилеві резонансними процесами, коли і; процесом генерації другої гармоніки, коли і.
Найбільш важливі випадки резонансів третього порядку наступні: чотирьоххвильового резонансні процеси, при виконанні умов синхронізму:; (взаємодія двох пар хвиль), або за інших умов синхронізму і (розпад високочастотної хвилі на трійку низькочастотних хвиль); вироджені трьоххвилеві резонансні процеси, при та; ге...
