, (2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16) (2.17)
2.1 Рішення рівняння гармонічного осцилятора за допомогою методу індукованої алгебри
Дано рівняння (1.1) з тими ж початковими умовами:
Уявімо його у вигляді системи диференціальних рівнянь першого порядку, згідно [1].
Введемо позначення, (2.1.1)
тоді друга похідна запишеться. (2.1.2)
Вираз (1.1) запишеться як
(2.1.3)
Згідно зі схемою, наведеною Ньюкома, праві частини системи повинні бути представлені у вигляді квадратичної форми. Для цього введемо змінну, таку, що. Тоді система (2.1.3), запишеться у вигляді:
(2.1.4)
Для приведення до стандартного вигляду, введемо тривимірний вектор станів, такий, що система (2.1.4) запишеться у вигляді:
(2.1.5)
Вираз (2.1.5) запишемо як добуток матриці) на вектор стовпець:
(2.1.6)
Зміна в часі кожної компоненти вектора визначається відповідною квадратичної формою, що має тільки їй властиву матрицю - компоненту деякого оператора, генеруючого систему (2.1.5). За допомогою цього оператора записують рівняння і будують алгебру перемноження базисних векторів. Запишемо (2.1.6) у вигляді. br/>
, де (2.1.7)
Випишемо матриці - компоненти оператора:
; (2.1.8)
Таким же чином випишемо матрицю (:
; (2.1.9)
; (2.1.10)
З формули (2.11) випливає, що нам необхідно знати відповідь на питання: чому одно твір будь-якої пари базисних векторів?
Символічна запис алгоритму для обчислення їх оформили у вигляді таблиці перемноження базисних векторів, яка має вигляд:
; (2.1.11)
Так як = 0, таблицю можна записати в наступному розгорнутому вигляді:
(2.1.12)
В результаті отримали таблицю перемноження базисних векторів (i = 1,2,3) і тим самим оформили алгебру індуковану системою (2.1.5). Щоб підкреслити, що маємо справу саме з таблицею запишемо результат у вигляді:
В
00 00 0 (2.1.13)
У таблиці (2.1.13) індекси пробігають значення 1,2,3. Тут пари індексів задають положення в таблиці результат перемноження відповідних пар базисних векторів. Наприклад:
і так далі
Рішення системи (2.1.5) представимо у вигляді суми векторного ряду:
(2.1.14)
Нульовий член цього ряду висловимо через початкова умова:
=, = 0, згідно (1.2), = 1 випливає з (2.1.4).
Тому
(2.1.15)
Будемо використовувати не рекурентне співвідношення (2.11) для векторних коефіцієнтів ряду, а формули (2.13) - (2.17).
