ти закономірність для парних похідних ми знайдемо ще шосту похідну:
(1.8)
Таким чином, можемо записати знайдені доданки у вигляді ряду:
-це і є рішення для розглянутих початкових умов.
(1.9)
Таким поруч представляють функцію з амплітудою.
2.Метод індукувати АЛГЕБРИ
Суть методу полягає в тому, що диференціальне рівняння представляють у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Права частина рівнянь складають систему перетворюються на квадратичні форми. p align="justify"> У статті [2] Ньюком показує, як поліномінальної системи зводяться до систем з квадратичною правою частиною.
Нехай-n-мірний вектор-стовпець, елементами якого є дійсні функції часу t. Будемо інтерпретувати вектор x як вектор стану деякої фізичної системи. Задамо n дійсних симетричних матриць розмірністю, і визначимо систему квадратичних диференціальних рівнянь, у вигляді
(2.1)
де точка означає похідну за часом, а ~ - операцію транспонування. Перепишемо цю систему в координатної формі:
(2.2)
Верхній індекс у компонент вектора в (2.2), не є показником ступеня, а номером компоненти. p> У своїй роботі автор називає алгеброю, деякий алгоритм, слідуючи яким будь-які два вектори можна перемножити, і отримати вектор того ж простору. Передбачається, що вектор можна розкласти по базису цього простору і алгебра повністю визначається завданням таблиці множення базисних векторів. Таким чином, будь-який вектор можна представити у вигляді
, (2.3)
де - дійсні функції часу, а - вектори базису.
Слідуючи Маркусу [3], автор визначає таблицю множення базисних векторів:
(2.4)
і тим самим визначає алгебру індуковану системою диференціальних рівнянь. Таблицю множення (2.4), можна записати в компактному матричному вигляді
(2.5)
Далі Ньюком використовує розкладання (2.3) і переписує систему (2.1) у вигляді:
(2.6)
Для вирішення системи (2.6) необхідно використовувати початкова умова, яке в індукованої алгебрі записується у вигляді:
. (2.7)
Припускаючи, що рішення можемо представити у вигляді статечного ряду, запишемо його
(2.8)
тут - вектор, векторні коефіцієнти кожного доданка з (2.8)
, (2.9)
(2.10)
Для отримання рішення рівняння необхідно прирівнювати коефіцієнти при однакових ступенях в лавах (2.9) і (2.10). Оскільки j + k = i-1, в результаті маємо:
(2.11)
Коефіцієнт визначається з початкової умови
(2.12)
Використовуючи (2.11) і комутативність алгебри для спрощення, знайдемо співвідношення між коефіцієнтами ряду (2.8):
...
