енту: твір комплексних чисел має аргумент, який дорівнює сумі аргументів всіх його співмножників.
У нашому випадку при зміні w від - ВҐ до + ВҐ вектори співмножників (jw - p i ), i = 1, n, повертаються на кут p (5). Якщо коріння лежить в лівій частині напівплощині, то зміна кута буде позитивним, якщо в правою, то негативним. Вектор (jw - p i ) повертається проти годинникової стрілки в лівій півплощині і за годинниковою стрілкою - у правій.
Запишемо вираз (5) у показовій формі. Врахуємо, що
В
де; p> Тоді
(6)
З (5) випливає, що зміна аргументу вектора Михайлова D (jw) дорівнює сумі змін аргументу кожного множники вирази (6), тобто
В
Якщо всі корені характеристичного рівняння розташовані ліворуч від уявної осі (тобто система стійка), то зміна аргументу кожного із співмножників (jw - p i ) при зміні w від - ВҐ до + ВҐ, одно + p, а зміна аргументу твори всіх співмножників Darg D (jw) = + pn.
Якщо хоча б один корінь буде розташований у правій напівплощині (система нестійка), то зміна аргументу вектора Михайлова Darg D (jw) = + p (n - 2). p> Зауважимо, що при зміні w від - ВҐ до + ВҐ крива Михайлова симетрична щодо осі абсцис, що дозволяє обмежитися вивченням кривої в діапазоні зміни w від 0 до + ВҐ. Тоді умова стійкості системи по Михайлову можна записати у вигляді
(7)
годографом кривої Михайлова при зміні w від 0 до + ВҐ для стійких систем при різних значеннях n наведено на рис. 5. p> Відповідно до (7) критерій Михайлова формулюється таким чином: для того, щоб замкнута система була стійкою, необхідно і достатньо, щоб при зміні w від 0 до + ВҐ вектор Михайлова D (jw) повернувся на кут.
Розглядаючи розташування D (jw) на комплексній площині (рис. 4), умова стійкості можна сформулювати інакше: щоб система була стійка, необхідно і достатньо, щоб годограф вектора D (jw) пройшов на комплексній площині послідовно n квадрантів в позитивному напрямі (проти годинникової стрілки), не проходячи через початок координат. Якщо годограф проходить через початок координат, то система знаходиться на межі стійкості. Розміщення годографа на комплексній площині для різних систем ілюструється рис. 6. p> Приклад. Використовуючи критерій Михайлова, оцінити стійкість системи стабілізації кута тангажу літака і визначити критичне значення передавального числа k u .
Характеристичне рівняння замкнутої системи було отримано вище і має вигляд
В
Зробимо заміну s = jw і виділимо речову і уявну частини
В
Побудована при заданих раніше параметрах системи крива Михайлова має вигляд, показаний на рис.3.7. p> Крива починається на речовій позитивної півосі, проходить послідовно 4 квадранта і закінчується в 4-му квадранті. Отже, при даних параметрах досліджувана система стійка. p> Для визначення критичного значення передавального числа по розі тангажа складемо систему рівнянь
В
З другого рівняння системи визначаємо частоту і підставивши вираз для неї в перше рівняння, після перетворень одержимо квадратне рівняння щодо шуканого значення передавального числа
В
Отримане рівняння абсолютно ідентично отриманому при вирішенні задачі за критерієм Гурвіца і результат таким же
В
Побудова кривої Михайлова для систем високого порядку може бути пов'язано з громіздкими обчисленнями і графічними побудовами. У цих випадках може бути більш просто оцінити стійкість по корінню рівнянь U (w) = 0 і V (w) = 0. Визначимо коріння цих рівнянь і розташуємо їх на числовій осі
Коріння речові і перемежовуються між собою. Система стабілізації кута тангажу стійка.
Критерій стійкості Найквіста
Критерій стійкості Найквіста дозволяє судити про стійкості замкнутої системи по виду АФЧХ розімкнутої системи.
Нехай передавальні функції розімкнутої та замкнутої системи мають вигляд:
Введемо функцію
(3.17)
де D (s) - характеристичний поліном замкнутої системи. Перейшовши до частотним уявленням, отримаємо
(3.18)
Вектор N (jw) називається вектором Найквіста. Очевидно, що чисельник і знаменник цього вектора мають один і той же порядок n. При використанні критерію Найквіста слід розрізняти два випадку.
1). Разомкнутая система стійка і її характеристичне рівняння A (s) = 0 має всі корені в лівій півплощині. Тоді при зміні частоти від 0 до ВҐ
(3.19)
Зміна аргументу вектора D (jw) в загальному випадку дорівнює
(3.20)
де m-число коренів рівняння D (s) = 0, що лежать в правій напівплощині.
Зміна аргументу вектора Найквіста буде
(3.21)
Якщо замкнута система стійка, то m = 0 і
В
Так як при w В® ВҐ, W (jw) В® 0, то N (jw) В® 1. Розглянемо малюнок ...
