3.8а, на якому показана крива Найквіста, яку описує вектор Найквіста при зміні частоти від 0 до ВҐ. Неважко переконатися, що вектор Найквіста опише кут, рівний нулю тільки в випадку, якщо його годограф не охоплює початок координат. Перенесемо початок координат в точку з координатами (1, j0) (ріс.3.9б). Можна переконатися, що зміна аргументу вектора Найквіста дорівнюватиме нулю якщо АФЧХ W (jw) розімкнутої системи не охоплює критичну точку з координатами (-1, j0).
Критерій Найквіста для розглянутого випадку формулюється наступним чином.
Система автоматичного управління, стійка в розімкнутому стані, буде стійкою і в замкнутому стані, якщо АФЧХ W ( j w ) розімкнутої системи при зміні частоти від 0 до ВҐ НЕ охзвативает критичну точку з координатами (-1, j 0).
Особливості виникають, якщо разомкнутая система нейтрально-стійка, тобто
В
де поліном A 1 (s) має всі коріння в лівій півплощині. При w = 0 АФЧХ розімкнутої системи W (jw) = ВҐ і простежити поведінку кривої АФЧХ в околиці цієї точки неможливо. При зміні частоти від - ВҐ до + ВҐ спостерігається рух коренів вздовж уявної осі знизу вгору і при w = 0 відбувається нескінченний розрив.
При цьому русі обійдемо нульової корінь (рис.3.10) за півкола нескінченно малого радіусу r так, щоб цей корінь залишився ліворуч, тобто штучно віднесемо його до лівої півплощини.
При русі по цій півкола в позитивному напрямку незалежна змінна змінюється за законом
В
де фаза j (w) змінюється від-p/2 до + p/2. Підставивши цей вираз в передавальну функцію замість множника s в знаменнику, отримаємо
В
де R В® ВҐ при r В® 0, а фаза j (w) змінюється від + p/2 до-p/2. Отже, в околиці нульового кореня годограф W (jw) являє собою частину кола нескінченно великого радіуса, рух по якої відбувається при збільшенні частоти в негативному напрямку.
Для оцінки стійкості замкнутої системи, якщо разомкнутая система нейтрально стійка, необхідно АФЧХ W ( j w ) розімкнутої системи доповнити дугою нескінченно великого радіуса, починаючи з менших частот, в негативному напрямку і для отриманої замкнутої кривої скористатися критерієм Найквіста для систем, стійких у розімкнутому стані.
2). Разомкнутая система нестійка. У цьому випадку
В
де р-число коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи, що лежать в правій півплощині.
Якщо замкнута система стійка, тобто m = 0, то
(3.22)
тобто АФЧХ розімкнутої системи охоплює критичну точку (-1, J0) в позитивному напрямку рівно p/2 разів. p> Система, нестійка в розімкнутому стані, буде стійкою в замкнутому стані, якщо АФЧХ W ( j з w ) розімкнутої системи при зміні частоти від 0 до ВҐ охоплює критичну точку (-1, j 0) в позитивному напрямку рівно р/2 разів, де р-число правих полюсів розімкнутої системи.
Визначення числа охватов критичної точки-непроста завдання, особливо у випадку систем високого порядку. Тому в практичних додатках знайшла застосування інше формулювання критерію Найквіста для розглянутого випадку.
Перехід годографа W (jw) через відрізок речовій півосі (- ВҐ, -1), тобто лівіше критичної точки при збільшенні частоти зверху вниз вважається позитивним, а знизу вгору-негативним.
Система, нестійка в розімкнутому стані, буде стійкою в замкнутому стані, якщо різниця між числом позитивних і негативних переходів АФЧХ розімкнутої системи дорівнює р/2.
(3.23)
де число позитивних переходів, число негативних переходів.
Наприклад, передавальна функція ракети-носія "Авангард" має два нестійких полюса і її АФЧХ показана на рис. 3.11. p> Очевидно, що для даної ракети, як об'єкта управління, а й Замкнута система буде стійкою.
Приклад. Використовуючи критерій Найквіста оцінити стійкість замкнутої системи стабілізації кута тангажа і визначити її запаси стійкості.
Передавальна функція розімкнутої системи була отримана раніше і має вигляд
В
Чисельні значення коефіцієнтів задані або обчислені раніше. Зробимо заміну s = jw:
В В
Після перетворень отримаємо
В В
Змінюючи частоту від 0 до ВҐ побудуємо криву АФЧХ - рис. 3.13. Провівши дугу кола одиничного радіуса, визначимо, що запас стійкості по фазі g = 110 0 . Для розглянутого прикладу отримаємо, що h = 3.3. br/>
Запаси стійкості
Стійкість замкнутої САУ залежить від розташування годографа АФЧХ розімкнутої системи щодо критичної точки. Чим ближче ця крива проходить від критичної точки, тим ближче замкнута САУ до кордону стійкості. Для стійких систем видалення АФЧХ розімкнутої ...
