>
Передавальна функція замкнутої системи прийме вид
В
де
Складемо визначник Гурвіца
В
Оцінимо стійкість системи для наступних значень параметрів:
.
При цих значеннях для коефіцієнтів характеристичного рівняння отримаємо
В В
Отже, всі коефіцієнти характеристичного рівняння замкнутої системи є позитивними і
В
Умови стійкості виконані і система при обраних параметрах стійка.
Визначимо критичне значення передавального числа по куту тангажа, для чого прирівняємо третій діагональний визначник нулю і зробимо перетворення.
В
Звідси
В
В останньому виразі тільки d 3 і d 4 є функціями коефіцієнта k u і підставивши їх у нього, отримаємо квадратне рівняння щодо цього коефіцієнта
В В
Вирішивши це рівняння, отримаємо критичне значення передавального числа по куту тангажа
В
Система стійка, якщо ku <16.56.
Критерій стійкості Рауса
Цей критерій являє собою систему нерівностей, складених за особливими правилами з коефіцієнтів характеристичного рівняння замкнутої САУ.
Критерій Рауса вимагає дещо меншого обсягу обчислень, ніж критерій Гурвіца і зручніший для програмування на ЕОМ. Для судження про стійкість системи за цим критерієм необхідно скласти таблицю Рауса. p> Таблиця Рауса
В
У першому рядку таблиці записують коефіцієнти характеристичного рівняння, що мають парні індекси в порядку їх зростання. У другому рядку таблиці записують коефіцієнти з непарними індексами в порядку їх зростання. У наступні рядки вписують коефіцієнти, що визначаються як
В
Умови стійкості Рауса: Щоб САУ була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса мали один і той же знак, тобто були позитивними. Якщо не всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса позитивні, тобто САУ нестійка, число правих коренів характеристичного рівняння дорівнює числу змін знака в першому стовпці таблиці Рауса.
Частотні критерії стійкості
Принцип аргументу. Частотні критерії стійкості використовуються в графоаналитического вигляді і відрізняються великою наочністю при проведенні розрахунків. В основі всіх частотних методів лежить принцип аргументу.
Розглянемо характеристичне рівняння системи
В
Якщо l i , i = 1,2, ... n-коріння цього рівняння, то
В
Кожному корені на комплексній площині відповідає певна точка, і геометрично на цій площині кожен корінь можна зобразити у вигляді вектора з модулем ВЅ l i ВЅ, проведеного з початку координат (рис.3.4). Зробимо заміну s = jw і отримаємо
В
У відповідністю з правилом віднімання векторів отримаємо, що кінець кожного елементарного вектора (jw - l i ) перебувати на уявної осі.
Аргумент вектора D (jw) дорівнює сумі аргументів елементарних векторів
В
Напрямок обертання вектора (jw - l i ) проти годинникової стрілки при зміні частоти від - ВҐ до + ВҐ прийнято вважати позитивним, а за годинниковою стрілкою-негативним. Припустимо, що характеристичне рівняння має m коренів у правій півплощині і n - m коренів в лівій півплощині. При зміні частоти від - ВҐ до + ВҐ кожен вектор (jw - l i ), початок якого лежить в лівій півплощині повернеться на кут + p, а кожен вектор, початок якого лежить в правій півплощині - на кут-p. Зміна аргументу вектора D (jw) при цьому буде
(3.14)
Цей вислів і визначає принцип аргументу.
Зміна аргументу вектора D (jw) при зміні частоти від - ВҐ до + ВҐ дорівнює різниці між числом (nm) коренів рівняння D (s) = 0, що лежать в лівій напівплощині, і числом m коренів цього рівняння, що лежать в правій півплощині, помноженої на p.
Критерій стійкості Михайлова
Нехай дано рівняння замкнутої системи
В
де - передавальна функція замкнутої системи.
Тоді диференціальне рівняння системи, перетворене по Лапласові можна записати у вигляді:
В
де - характеристичний поліном n-ної ступеня.
У відповідності з основною теоремою алгебри цей поліном можна розкласти на множники у вигляді:
(4)
де p 1 , p 2 , ..., p n - коріння характеристичного рівняння А (р) = 0.
Вираз (5) дійсно за будь-яких значеннях p, зокрема при p = jw. Тоді (5) можна переписати так:
(5)
Вираз (5) називається кривою Михайлова і зазвичай позначається D (jw) = A (jw). Кожен співмножник виразу (5) відображається на комплексній площині вектором, кінець якого лежить на уявної осі (рис. 4).
В основу критерію Михайлова покладено принцип аргум...
