і D хорду BE . Тепер з'єднаємо точки C і E . p> Розглянемо трикутники ADB і DCE . Вони рівні по стороні і двом кутах : AD = DC з побудови; Гђ B = Гђ C як вписані, що спираються на одну дугу AE ; Гђ ADB = Гђ CDE як вертикальні. Значить відповідні сторони AB і EC рівні.
Аналіз помилки: «гвність трикутників по стороні і двом кутам В»- саме таку умовну формулювання часто дають ознакою рівності трикутників по стороні і прилеглим до неї кутам. У результаті школярі просто шукають пари рівних елементів: AD = DC , Гђ B = Гђ C , Гђ ADB = Гђ CDE . При цьому умова, що кути повинні бути прилежащими відповідно до сторін AB і DC , забувається. Буквальне сприйняття умовної формулювання ознаки рівності трикутників призводить до заміни його зовсім іншим. Відбулося розширення сфери застосування ознаки. Учень скористався ним без виконання належних умов, він замінив їх на більш загальні. Це і призвело до суперечливого факту - рівності хорди, що не проходить через центр, діаметру. У цьому випадку краще всього буде, якщо учень самостійно, переглянувши попередньо точну формулювання ознаки рівності трикутників, знайде в себе помилку.
2) Використання замість теореми зворотного до неї затвердження. Сенс міркувань при цьому полягає в наступному: якщо у нас вірно A Гћ B , то вірним буде і B Гћ A . Зрозуміло, що це виконується не завжди. Наведемо простий приклад, коли зворотна теорема не вірна, і її застосування призводить до суперечливого результату.
Приклад Ан2: Доведемо, що всі числа рівні.
Для цього візьмемо два довільних числа a і b . Доведемо, що a = b .
0 = 0 Гћ a 2 - 2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 Гћ (a - b) 2 = (B - a) 2 Гћ a - b =
= b - A Гћ 2a = 2b Гћ a = b.
Перехід (a - b) 2 = (B - a) 2 Гћ a - b = b - a не вірний. Справа в тому, що з рівності чисел треба рівність їх квадратів, але з рівності квадратів не слід рівність чисел (будуть рівні лише їх модулі).
3) Помилки при спробі узагальнення. Нехай у нас є клас A і клас B . Для елементів класу A виконується властивість C A . Робиться припущення, що для елементів класу B буде виконуватися умова C B , яке побудовано за аналогією з властивістю C A відповідно до особливостями класу B . Наприклад:
Завдання Ан3: У прямому паралелепіпеді ребра рівні a , b , c . Знайдіть довжину головної діагоналі.
Рішення: Так як в прямокутнику квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів його сторін, то квадрат головної діагоналі в прямому паралелепіпеді буде дорівнює сумі квадратів його ребер, тобто a 2 + b 2 + c 2 .
У даному випадку твердження, отримане за аналогією, вірно, але не доведено.
Інший приклад: у площині будь-яка пряма задається рівнянням виду Ax + By + C = 0 . Припущення, що в просторі будь-яка пряма буде задаватися рівнянням виду
Ax + By + Cz + D = 0 не вірно.
Завдання вчителя - пояснити учневі, що затвердження, отримане за аналогією з вірним, може виявитися невірним. Тому воно потребує окремого докази. br/>
1.4 Абстракція, конкретизація і узагальнення.
В
Абстракція полягає в тому, що суб'єкт, виокремлюючи які-небудь властивості, ознаки досліджуваного об'єкта, відволікається від інших [2]. Абстрагування, процес застосування абстракції, зазвичай здійснюється в результаті аналізу. При цьому ознака, відокремлюваний від об'єкта, стає самостійним об'єктом мислення.
Конкретизація припускає повернення думки від загального і абстрактного до конкретного з метою розкрити його зміст [2]. p> Узагальнення - уявне об'єднання предметів і явищ за їх загальним і суттєвим ознаками [2].
Ці три процеси тісно взаємопов'язані між собою. Абстрагування, як правило, відбувається лише після узагальнення, коли об'єкт абстрагування виділений. Конкретизація - процес, зворотний до абстрагу...
