вання.
Узагальнення можна визначити, як перехід від одиничного до загального. Розглядаються конкретні об'єкти класу. У цих об'єктів помічається виконання певного властивості, робиться припущення, що для всіх об'єктів класу це властивість буде виконуватися. Насправді є певна схожість з аналогією, але є і відмінність: при узагальненні ми можемо за допомогою абстрагування працювати з класом, як з одним об'єктом. Наприклад, будь-яке число, що ділиться на 5 можна представити у вигляді 5 k . Довівши якесь властивість для цього об'єкту, ми тим самим доведемо це властивість для всього класу. Зворотне відбувається при конкретизації: якщо властивість вірно для всього класу, то для конкретного об'єкта цього класу властивість буде виконуватися.
Розглянемо помилки, які можуть виникати при цих процесах.
Одна з поширених помилок - необгрунтованість узагальнень. Властивість класу при цьому просто помічається, але не доводиться, воно, як правило, перевіряється лише для декількох елементів класу. Розглянемо класичний приклад, що належить Л. Ейлера:
Приклад О1: Чи правда, що за будь натуральному n
n 2 + n +41 - просте число?
Доказ: при n = 1: n 2 + n + 41 = 43 - просте число;
при n = 2: n 2 + n + 41 = 47 - просте число;
при n = 3: n 2 + n + 41 = 53 - просте число;
при n = 4: n 2 + n + 41 = 61 - просте число;
при n = 5: n 2 + n + 41 = 71 - просте число;
і т. д. При інших n вираз n 2 + n + 41 також буде простим числом.
Узагальнення в цьому випадку не тільки не обгрунтовано, а й спростовується конкретним прикладом: при n = 41 маємо n 2 + n + 41 = 41 2 + 41 + 41 = 41 Г— (41 +2) = 41 Г— 43.
У житті зазвичай на основі перевірки властивості у декількох об'єктів класу робиться висновок, що дане властивість здійснимо для всього класу в цілому. Приблизно так будувалося більшість фізичних законів; на обмеженому числі дослідів виводилися біологічні та хімічні закономірності. Звичайно, узагальнення - це невід'ємна частина побудови гіпотез. Але саме гіпотез, з яких лише згодом виростають логічно обгрунтовані теорії. З розглянутого вище прикладу видно, що перевірене навіть на багатьох конкретних прикладах твердження (для натуральних чисел, менших 41, воно виконується) може виявитися хибним. Подібні ситуації і змушують наводити повні докази отриманих узагальнень, незалежно від ступеня впевненості у справедливості цієї гіпотези.
Помилковість отриманої з допомогою узагальнення гіпотези нерідко буває пов'язана з нереферентних неусвідомлено проведеної вибірки розглянутих для її висунення об'єктів. Вони в таких випадках зазвичай підбираються за принципом В«що ближче лежить (або краще знаємо), то і беремо В». У результаті передбачуваний відповідь може виявитися невірним для об'єктів, які "лежать далі".
Розглянемо конкретний приклад.
Приклад О2: Знайдіть безліч всіх рішень нерівності x 3 - x Ві 0 ( х ГЋ R ).
Відповідь: [0, + ВҐ].
Аналіз помилки: Учень просто підібрав відповідь, підставляючи в нерівність тільки цілі числа. Тому-то проміжок (0,1) він також включив у відповідь (адже в ньому немає жодного цілого числа, а 0 і 1 задовольняють нерівності). Вивчивши нецілі числа, учні тим не менш намагаються по можливості обходиться без них. Такий розрив між теоретичними знаннями і повсякденним свідомістю часто веде до невірних висновків начебто зробленого вище. У даній ситуації краще всього порадити учневі вирішити нерівність методом інтервалів, порівняти отриману відповідь з першим і спробувати зрозуміти, чому його первісна гіпотеза виявилася невірною.
Рішення, в яких доказ властивості для всього класу необгрунтовано замінюється перевіркою лише для одного або кількох конкретних об'єктів цього класу, взагалі зустрічаються в роботах школярів досить часто. Розглянемо ще один приклад. p> Завдання О3: Доведіть, що сума будь-яких десяти поспіль йдуть непарних чисел ділиться на 20.
Рішення: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 19 = 100, ділиться на 20. Решта суми теж діляться на 20. p> Аналіз розв'язку: З того, що властивість виконується для однієї послідовності чисел, щ...
