p>
З (5) випливає, що
.
(6)
Аналіз помилки: У даному випадку перехід від (5) до (6) не рівносильний, так як рівність (5) виконується у двох випадках:
1), тоді не обов'язково, щоб.
2), тоді обов'язково.
Зауважимо, що завжди. Тому, відкинувши перший випадок, учень по суті справи пішов по невірному шляху. Всі учні добре знають, що на нуль ділити не можна. Проте вони часто ділять на вираження без перевірки рівності останніх нулю.
Наведемо ще один приклад, коли розглянуті не всі можливі випадки.
Приклад А4: Дан трикутник ABC . Проведена висота BH , що дорівнює 4. Знайдіть площу трикутника ABC , якщо відомо, що AH = 6, BC = 5.
Рішення: Так як трикутник BCH прямокутний, то
CH == 3 .
Значить AC = AH + HC = 6 + 3 = 9 .
Площа трикутника ABC відповідно дорівнює:
.
Аналіз розв'язку: У міркуваннях помилок немає, але не розглянуто випадок, коли трикутник ABC - тупокутний. Міркування будуть аналогічними, а відповідь інший. Очевидно, учень несвідомо використовував у рішенні особливості свого креслення, що не випливають з умови задачі.
1.2 Синтез.
В
Синтез - це уявне об'єднання частин, властивостей, дій в єдине ціле. Синтез не є механічним з'єднанням частин і тому не зводиться до їх суми [2].
Головне в процесі синтезу - Врахувати всі умови, всі дані, щоб отримати адекватний результат. Всім відомо, що буває, якщо не врахувати одне з рівнянь системи; як важко іноді вирішити завдання з геометрії, забувши про якісь дані; побудувати графік функції, не дослідивши її похідну і т. п. Розглянемо приклади, коли одна з умов не враховано.
Задача С1: Вирішити нерівність.
Рішення: оскільки знаменник дробу завжди позитивний, то він не впливає на знак. Отримуємо, що рішенням нерівності буде проміжок (-3; 3).
Аналіз помилки: Знаменник дійсно не впливає на знак нерівності, але при рівності останнього нулю дріб не має сенсу, тому x = 0 слід виключити з безлічі рішень.
Таким чином, від того, в якою мірою враховані властивості досліджуваного об'єкта, залежить кінцевий результат синтезу.
1.3 Порівняння і аналогія.
В
Порівняння - це встановлення подібності чи відмінності між предметами або їх окремими ознаками. Порівняння призводить до правильного висновку, якщо виконуються наступні умови: порівнювані поняття однорідні і порівняння здійснюється за такими ознаками, які мають істотне значення.
Процес порівняння і аналогія тісно пов'язані. Можна сказати, що порівняння готує грунт для застосування аналогією . За допомогою аналогії подібність предметів, виявлене в результаті їх порівняння, поширюється на нову властивість. Міркування з аналогією можна представити наступною схемою:
Об'єкт A має властивості c 1 , c 2 , ..., c n .
Об'єкт B має властивості c 1 , c 2 , ..., c n -1 .
Передбачається, але не стверджується, що B має властивість c n . Саме тому аналогію не можна вважати доказовим методом, її ще треба обгрунтувати. Тим не менш, міркування за аналогією корисні в процесі навчання, так як мають на увазі самостійну формулювання нових теоретичних фактів. Основна помилка школярів при застосуванні аналогії - це відсутність міркувань, які б повністю її обгрунтовували. Без них рішення є неповним або просто невірним.
Розглянемо найбільш часто зустрічаються в рішеннях школярів види необгрунтованих аналогій:
1) Розширення сфери застосування теореми. Поява такого роду помилки, як правило, пов'язано з формальним знанням теореми чи властивості. У свідомості учня чітко не виділені умови застосовності теореми, і в результаті деякі з них залишаються за межею його розгляду. Наслідком цього є незаконне використання теореми. По суті учень застосовує не теорему, а її аналог, який нерідко виявляється невірним. Розглянемо приклад:
Приклад A Н1 : Хорда, що не проходить через центр окружності, дорівнює діаметру. [5]
Доказ: Дана окружність з діаметром AB . Виберемо на ній довільно точку C . Середина AC - точка D . Проведемо через точки B ...
