="justify">
Визначення . Лінійне нормоване простір називається
повним , якщо в ньому будь-яка фундаментальна послідовність сходиться .
банахових просторах
Повне лінійне нормований простір називають також банахових просторах (по імені видатного польсько-українського математика Стефана Банаха (1892-1945)).
Простору R і C - банахові, а простір Q - ні.
Розглянуте вище простір - Банаховий. Справді, нехай - фундаментальна послідовність у .
Тоді ( Тоді для будь-якого фіксованого , причому номер N не залежить від x. За критерієм Коші рівномірної збіжності це означає рівномірну збіжність послідовності .
Переходячи в нерівності до межі при , отримаємо: , звідки випливає, що , що означає збіжність послідовності до за нормою . Таким чином, простір - повне, а значить - Банаховий.
Цікаво, що простір повним не є. Як приклад розглянемо в послідовність . Припустимо, що деяка безперервна функція f (x) є межею цієї послідовності в метриці .
Очевидно, , а отже, якщо сходиться до f (x) у метриці , то сходиться і в метриці . Однак, на відрізку [0, 1] розглянута послідовність збігається з розглянутим вище послідовністю і має своїм межею в функцію, тотожне рівну нулю . Аналогічно, f (x) є межею в , а оскільки на [ 1, 2], то і межа цієї послідовності в тотожно дорівнює 1.
У силу єдиності межі, отримуємо, що на [0, 1] і на [1, 2] і при цьому f (x) неперервна на [0, 2]. Очевидно, таких функцій не існує.
метричний лінійне Банаховий простір
Отже, послідовність в розходиться. Разом з тим
