A) В· = В· (B).
(точка позначає скалярний добуток векторів). Тоді позначаємо B = A *. Оператор A називається самосопряженним, якщо A * = A.
Якщо A - матриця оператора A щодо ортонормированного базису {i, j, k}, то матрицею оператора A * щодо того ж базису буде AT. Тому для матриці самосопряженних оператора щодо ортонормированного базису повинно бути виконане AT = A. Значить, матриця самосопряженних оператора є симетричною (щодо ОНБ). p> Виявляється, що власні числа самосопряженних оператора A завжди є дійсними, а власні вектори, що відповідають різним власним числам, ортогональні один одному. Тому характеристичне рівняння (3) для самосопряженних оператора (тобто для симетричної матриці) завжди має три дійсних кореня, якщо кожен корінь вважати стільки разів, яка його кратність. При цьому ми завжди можемо знайти 3 лінійно незалежних власних векторів оператора A. Це означає, що існує базис простору V3, що складається з власних векторів оператора A.
Нехай {,,} - базис в V3, що складається з власних векторів оператора A, і l1, l2, l3 - відповідні власні числа. Тоді маємо
= l1 = l2 = l3
А це означає, що відносно базису {,,} оператор A має діагональну матрицю
A =. (5)
Оскільки вектори k, l, m теж будуть власними для будь-яких ненульових k, l, mГЋR, ми можемо в якості базисних вибрати одиничні вектори
=, =, =.
Тоді базис {,,} буде ортонормированного.
Приклад 2. Самосопряженний оператор A: V3 В® V3 діє за формулами:
В
Шляхом вибору нового ортонормированного базису в просторі V3, привести матрицю оператора A до діагонального вигляду.
Рішення. 1. Складемо матрицю A оператора A щодо базису
{i, j, k} і матрицю A-lE:
A =, A - lE =
(матриця оператора виписується за принципом: рядок - у стовпець; але в нашому випадку матриця симетрична). Визначник det (A - lE) можна обчислити безпосередньо, але найчастіше це приводить до дуже тривалим обчислень. Тому зручніше використовувати наступну формулу:
det (A - lE) =-l3 + (tr A) l2 - I2 (A) l + det A. (6)
Тут tr A = a11 + a22 + a33 - слід матриці A (тобто сума її діагональних елементів), а
В
сума діагональних мінорів матриці A. Схематично останню формулу можна зобразити так:
В
У нашому випадку знаходимо trA = 0 +3 +0 = 3, det A = 5,
В
Отримуємо характеристичне рівняння
-l3 + 3l2 + 9l + 5 = 0 Г› l3 - 3l2 - 9l - 5 = 0. (7)
Один з коренів ми можемо знайти підбором: l1 = -1. Потім ділимо характеристичний многочлен на l - l1:
В
Значить рівняння (7) еквівалентно наступному:
(l + 1) (l2 - 4l - 5) = 0.
Тепер знаходимо залишилися коріння: l2 = -1, l3 = 5. Ми бачимо, що у нас є кратний корінь:
. Так само, як і у прикладі 1, знаходимо власний ...
