арності с і, буде власним вектором для оператора A, відповідним власному числу l2. Ми можемо записати, що оператор A має власні вектори
(x1, y1, z1),
= k + l = (kx2 + lx3, ky2 + ly3, kz2 + lz3), k, lГЋR.
Нехай рівняння (3) має один триразовий корінь l1. Тоді при підстановці його в (2) можемо отримати систему рівнянь рангу 2, 1 або 0. У першому випадку оператор буде мати один власний вектор, а в другому - нескінченно багато власних векторів, і всі вони будуть мати вигляд
= k + l, k, lГЋR,
де і - два довільних неколінеарних вектора, координати яких задовольняють системі (2). Випадок, коли при підстановці триразового кореня система (2) матиме ранг 0, можливий лише тоді, коли матриця A пропорційна одиничної: A = l1E. Тоді будь-який вектор для оператора A буде власним. p> Знайдені власні числа і власні вектори для оператора A називаються також власними числами і власними векторами матриці A. Однак, коли мова йде про оператора, треба пам'ятати, що його матриця залежить від вибору базису в просторі V3 і, відповідно, власні вектори щодо іншого базису будуть мати інші координати. Власні числа оператора не залежать від вибору базису і, тому, коефіцієнти характеристичного многочлена теж не залежать від цього. p> Приклад 1. Знайти власні числа і власні вектори оператора A: V3 В® V3, якщо відносно заданого в просторі V3 базису він визначається матрицею
A =.
Рішення. 1. Складемо матрицю A - lE:
A - lE =. (4)
Знайдемо власні числа матриці A з рівняння det (A - lE) = 0. Обчисливши визначник, отримаємо рівняння
(-8 - l) (l2 - 3l - 4) = 0.
Звідси знаходимо коріння l1 = -8, l2 = 4, l3 = -1. p>. Підставимо в матрицю (4) значення l1 = -8:
A + 8E =.
Складемо однорідну систему рівнянь по цій матриці:
В
Звідси знаходимо єдине рішення y = z = 0. Виходить, що в якості вектора потрібно взяти нульовий? Ні! У нас відсутня будь-яке обмеження на змінну x. Тому можемо взяти (1, 0, 0). p>. Підставимо в матрицю (4) значення l2 = 4 і по получившейся матриці складемо однорідну систему лінійних рівнянь:
A - 4E =,
Друге і третє рівняння пропорційні. Тому одне з них можемо викреслити. З решти рівнянь знаходимо, що x = 0, y = z. Тому в якості другого власного вектора можемо взяти (0, 1, 1). p>. Для l3 = -1 аналогічно знаходимо (0, 1, 1). p> Відповідь: l1 = -8, (1, 0, 0);
l2 = 4, (0, 1, 1);
l3 = -1, (0, 1, 1).
У другому розділі буде розібраний ще один приклад вирішення такого завдання, причому, в цьому прикладі одне з власних чисел буде мати кратність 2.
рівняння канонічний квадратичний вектор
2. Самосопряженний оператор
Визначення. Оператор B: V3 В® V3 називається зв'язаним до оператора A: V3 В® V3, якщо для будь-яких векторів, ГЋ V3 виконано
(...
