вектор (1, 2, -1), що відповідає власному числу l3 = 5. p>. Знайдемо власні вектори для l1 = l2 = -1. Наше завдання: знайти для кожного з чисел l1 і l2 окремо свій власний вектор і, так щоб ці вектори були перпендикулярні один одному. br/>В
Отримана система рівнянь має ранг 1, тобто всі рівняння системи пропорційні, тому друге і третє рівняння можемо викреслити. У разі самосопряженних оператора система рівнянь, відповідна дворазовому корені завжди має ранг 1. Отже, у нас є тільки одне рівняння:
x + 2y - z = 0, (8)
Підбором ми можемо знайти (1, 0, 1), (0, 1, 2). Тоді загальний вигляд всіх власних векторів, відповідних l1 = l2 = -1, буде
= k + l = (k, l, k + 2l), k, lГЋR. (9)
Якби завдання формулювалася так само, як у прикладі 1, то на цьому слід було б закінчити. Але для самосопряженних оператора необхідно ще знайти ортонормованій базис, що складається з власних векторів. Тому повторимося ще раз: нам треба знайти для кожного з чисел l1 і l2 окремо свій власний вектор і, так щоб ці вектори були перпендикулярні один одному. Тому ми чинимо інакше. Тільки вектор (1, 0, 1) ми знаходимо підбором. Невідомий вектор (x, y, z) повинен задовольняти умові (8), але додатково має виконуватися умова ортогональності:
(1, 0, 1) В· (x, y, z) = 0.
Отже, (x, y, z) ми знаходимо з системи
В
Друга умова в координатах має вигляд x + z = 0. Тому ми маємо систему для знаходження:
В
Знаходимо y = - x, z = - x. Тому можемо взяти (1, -1, -1). p> Тепер нормуємо знайдені вектори, т.е ми знайдемо одиничні вектори, колінеарні знайденим власним векторах:
| | ==, =
| | ==, =
| | ==, =
Відповідь: Щодо нового базису, складеного з векторів
,,,
матриця оператора A буде мати вигляд
A =.
. Білінійна функція і квадратична форма
Визначення. Нехай L - векторний простір. Билинейной функцією, визначеною на L називається відображення f: L'L В® R, зіставляє кожній парі векторів (x, y) число f (x, y), і при цьому лінійне за обома аргументам; тобто повинні виконуватися властивості
. f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z); f (x, y + z) = f (x, y) + f (x, z);
2. f (lx, y) = lf (x, y) = f (x, ly), lГЋR.
Білінійна функція називається симетричної, якщо f (y, x) = f (x, y)
"x, yГЋL.
Нехай L3 - тривимірне векторний простір, B = {e1, e2, e3} - базис в ньому. Нехай x (x1, x2, x3), y (y1, y2, y3) - довільні вектори. Тоді за властивостями лінійності
f (x, y) = f (x1e1 + x2e2 + x3e3, y1e1 + y2e2 + y3e3) = xiyjf (ei, ej).
Визначення. Позначимо aij = f (ei, ej), i, j = 1, 2, 3. Це числа, які не залежать від координат векторів x, y, а залежать тільки від вибору базису. Вони називаються коефіцієнтами билинейной функції в даному бази...
