чисел, а B - безліч їх квадратів. p> Встановимо наступне взаємно однозначна відповідність між цими множинами.
В
Це означає, що нескінченні множини A і B еквівалентні і мають однакову потужність. Цікаво, що при цьому безліч A еквівалентно своєму підмножині, так як квадрати натуральних чисел - числа натуральні. Така еквівалентність можлива тому, що обидва безлічі нескінченні. br/>В
Рис. 6. Встановлення взаємно однозначної відповідності між рівними сторонами рівнобедреного трикутника. p>. Нехай LM і NM - рівні сторони рівнобедреного трикутника LMN (рис. 6). br/>
Зв'язавши точки А і В рівних сторін трикутника відрізками прямих, паралельних основи LN, отримаємо взаємно однозначна відповідність між точками множин, що визначаються відрізками LM і NM. Ці безлічі еквівалентні і мають однакову потужність. br/>В
Рис. 7.Установленіе взаємно однозначної відповідності між нерівними сторонами рівнобедреного трикутника. br/>
3. Нехай тепер LN і МN - нерівні сторони трикутника LMN (рис. 7). Зв'язавши точки А і В на цих сторонах відрізками прямих, паралельних стороні LM, отримаємо, що і нерівні між собою сторони визначають безлічі точок однакової потужності. Справа в тому, що сторони LN і MN мають різну довжину, але кожна з них містить нескінченну безліч точок, яких однаково багато. p> Глава IV. Рахункові безлічі
Безліч назвемо лічильно, якщо воно еквівалентно безлічі натуральних чисел. p> Таким чином, можливість В«пронумеруватиВ» елементи безлічі визначає його счетность. Це завдання далеко не завжди вирішується просто. p> Відзначимо деякі властивості рахункових множин.
. З будь-якого нескінченної кількості можна виділити рахункове. p> Дійсно, якщо множина A нескінченно, то рахункове безліч N можна побудувати наступним чином. Виділимо в якості першого елемента множини N, наприклад, елемент множини A. Так як A нескінченно, то виключення з нього одного елемента збереже його нескінченність. Далі відділимо від залишився безлічі елемент, приєднавши його до безлічі N, потім з нескінченної кількості відділимо елемент, приєднавши до N, і так далі. Безліч N прийме вигляд: і буде рахунковим. p>. Всяке нескінченна підмножина рахункового безлічі теж лічильно. p> Якщо множина A лічильно, а B - його нескінченна підмножина, то, послідовно перебираючи елементи множини A, ми будемо зустрічати елементи множини B і, нумеруя їх, отримаємо нескінченну рахункове безліч.
. Об'єднання будь-якого кінцевого або рахункового безлічі лічильних множин є рахункове безліч. p> Для доказу цієї властивості розглянемо рахункові безлічі:
В
Сформуємо з цих множин нове безліч
В
Воно утворюється так, що спочатку розташовується елемент, потім йдуть елементи, у яких сума індексів дорівнює 3, потім 4, і так далі. Така безліч охоплює всі елементи множин і саме є рахунковим. p> Розглядаючи властивості рахункових множин, ми прагнули довести счетность тих чи інших нескінче...
