нних множин. Однак чи всі нескінченні множини лічильно? Щоб виявити незліченні множини, довелося подолати чимало труднощів. І Б. Больцано, і Г. Кантор, відчуваючи, що ідея встановлення взаємно однозначної відповідності є ключ до пошуку потужності нескінченних множин, були близькі до вирішення питання одночасно. Б. Больцано першим прийшов до способу оцінки нескінченних множин шляхом встановлення взаємно однозначної відповідності, а Г. Кантор першим зумів знайти незліченну безліч. p> ТЕОРЕМА. Відрізок числової прямої містить незліченну безліч точок. p> ДОКАЗ.
Припустимо гидке: - рахункове безліч точок. Пронумеруємо їх:
В
Будь чи точка цього відрізка виявляється включеною в дану послідовність?
Для доведення теореми слід знайти таку точку на відрізку, що не охоплюється даної послідовністю.
Для цього розділимо відрізок на три рівні частини (рис. 8). Отримаємо відрізки:
В
В
Рис. 8. Побудова точки, що не входить в послідовність. br/>
Хоча б на одному з них немає крапки. Виділивши його, ділимо новий відрізок, який є підмножиною відрізка, знову на три рівні частини і виділимо ту, на якій немає точки (на цій третини не буде і точки, і точки, як це було встановлено вище). Далі новий відрізок знову ділимо на три рівні частини і вибираємо ту з них, де немає точки а3 (як показано, точок і на ній також не буде), і так далі. У результаті на n-му кроці ми отримуємо відрізок довжини, на якому немає точок,,, ...,. Продовжуючи нескінченно цей процес, ми знаходимо точку а, яка не включена в послідовність
В
Дійсно, а - спільна точка цих відрізків. Будучи точкою відрізка, вона повинна входити в зазначену послідовність, але це неможливо, тому що, яке б n ми не взяли, точка аn не може належати відповідному відрізку, а точка а буде йому належати, отже, а відмінна від всіх аn, що і доводить теорему.
Потужність множин, еквівалентних відрізку, назвемо ПОТУЖНІСТЮ континуум і позначимо літерою c.
Вкажемо деякі з цих множин.
Розглянемо відрізок. Формула
,
встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною і множиною. Отже, має потужність континууму. p> Крім того, безлічі:
і -
мають ту ж потужність континууму c, тому що відрізняються від безлічі кінцевим числом точок, що зберігає їх потужність.
Зовсім несподіваний результат отримав Г. Кантор, припускаючи спочатку, що квадрат зі стороною, рівною 1, містить більше точок, ніж відрізок. Безлічі ці виявилися еквівалентними. <В
Рис. 9. Взаємно однозначна відповідність між точками всередині квадрата і точками інтервалу. br/>
Порівняння безлічі натуральних чисел, що є рахунковим, і численної безлічі точок відрізка викликає питання: чи є безлічі проміжної потужності? Інакше кажучи, чи є нескінченна безліч, в якому кількість елементів більше, ніж натуральних чисел, і менше, ніж точок на відрізку? Це є знаменита проблема континуу...
