A і B не перетинаються, то, тому й. Якщо ж множини A і B перетинаються, то кількість елементів в об'єднанні множин складається з числа елементів множин A і B, але так як елементи, що знаходяться в перетині множин, враховуються двічі (рис. 5), то справедливо рівність (1). Конкретний приклад зазначений на рис. 5. br/>
Рис. 5. Загальні елементи в об'єднанні кінцевих пересічних множин. br/>
Якщо безлічі кінцеві, то порівняння числа їх елементів може бути уподібнене порівнянні натуральних чисел. Важче порівняти безлічі нескінченні. Чого більше: натуральних чисел або дійсних, точок відрізка або точок квадрата, побудованого на ньому? Очевидно, що частина менше цілого. Але чи буде це очевидне зберігатися, коли ми маємо справу з нескінченними множинами? Вивчення феноменів нескінченного породило принципово нові оцінки множин. br/>
Глава III. Відповідності між множинами
Математика не завжди цікавиться природою елементів множин, більший інтерес представляє порівняння множин. Тому повинна бути введена універсальна характеристика, яка могла б їх описати. Цією характеристикою стала потужність множини. p> ПОТУЖНІСТЮ кінцевого безлічі називається число його елементів.
Це визначення здається тривіальним. Однак такий критерій для оцінки нескінченних множин навряд чи прийнятний, так як простий перерахунок елементів множини для їх подальшого порівняння неможливий. p> Г. Кантор знайшов вихід з такого становища, запропонувавши встановити зв'язок між будь-якими множинами, включаючи і кінцеві, через взаємно однозначна відповідність. Це з'явилося принципово новим поглядом на теорію множин. Нехай, наприклад, дано репертуар оперних вистав театру, складений на тиждень. Уявімо його у вигляді таблиці. br/>В
Тоді між безліччю і безліччю B = {Князь Ігор, Іоланта, ..., Черевички} може бути встановлено відповідність, за яким кожному елементу множини А вказується один певний елемент множини В і назад: кожному елементу множини В ставиться у відповідність також один певний елемент множини A. Цей спосіб дозволяє без перерахунку вказати, що множини A і B містять однакову кількість елементів. Саме ця ідея і покладена в основу порівняння нескінченних множин. p> Будемо говорити, що між множинами A і B встановлено взаємно однозначну відповідність, якщо кожному елементу множини А поставлений у відповідність один елемент множини B, а кожному елементу множини B - один елемент множини А.
Якщо між множинами A і B вдається встановити взаємно однозначну відповідність, то говорять, що вони еквівалентні, або мають однакову потужність.
Для таких множин прийнята запис:
В
Потужність кінцевих множин є чисельна характеристика, що збігається з числом елементів множини; потужність нескінченних множин є характеристика порівняльна, що випливає з можливості встановити взаємно однозначну відповідність між парами різних множин. p> Розглянемо приклади.
. Нехай A - безліч натуральних ...
