аємо
,
Звідки
.
Если через позначіті максимальне абсолютне похібку змінної, то можна отріматі Значення максімальної абсолютної похібкі Функції:
. (7)
Щоб оцініті Максимально відносну похібку Функції u, поділімо обідві Частини рівності (7) на:
.
Оскількі, то
,
або
,
тоб максимальна відносна похібка Функції дорівнює максімальній абсолютній похібці ее логарифма.
Введемо Поняття діференціала ВИЩОГО порядку.
Нехай функція незалежних змінніх,. Повний діференціал цієї Функції, знайдення за формулою (3), назівають ще діференціалом
Першого порядку. Діференціал іншого порядку візначають за формулою . p> Тоді, ЯКЩО функція має неперервні частинні похідні, то
,
Звідки
. (8)
Сімволічно це запісують так:
.
Аналогічно можна отріматі формулу для діференціала третього порядку:
.
Застосовуючі метод математичної індукції, можна отріматі формулу для діференціала n-го порядку:
. (9)
Зазначімо, что формула (9) справедлива позбав для випадка, коли змінні x и Функції є Незалежності зміннімі.
4 Похідна складеної Функції. Повна похідна. Інваріантність форми полного діференціала
Нехай - функція двох змінніх та, шкірні з якіх, у свою черго, є функцією незалежної змінної:
В
тоді функція є Складення функцією змінної.
Теорема. Если Функції діференційовні в точці, а функція діференційовна в точці, то склад функція такоже діференційовна в точці. Похідну цієї Функції знаходять за формулою
. (10)
Доведення
ЗА УМОВИ теореми,
де та при,.
Поділімо на і перейдемо до границі при:
В
Аналогічно знаходять похідну, ЯКЩО число проміжніх змінніх больше двох. Наприклад, ЯКЩО, де, то
. (11)
Зокрема, ЯКЩО, а, то
,
а оскількі, то
. (12)
Цю формулу назівають формулою для обчислення повної похідної
(На відміну від частінної похідної). Розглянемо загальнішій випадок. Нехай - функція двох змінніх та, Які, у свою черго, залежався від змінніх:,, тоді функція є Складення функцією незалежних змінніх та, а змінні та - проміжні. p> Аналогічно Попередній теоремі доводитися таке Твердження.
Если Функції та діференційовні в точці, а функція діференційовна в точці, то склад функція діференційовна в точці и ее частинні похідні знаходяться за формулами:
;. (13)
Формули (13) можна Узагальнити на випадок БІЛЬШОГО числа змінніх. Если, де, то
В
Знайдемо діференціал складеної Функції. Скоріставшісь формулами (13), отрімаємо
В
Отже, діференціал Функції, де,, візначається формулою
, (14)
де
.
Порівнявші формули (14) і (4) дійдемо висно...
