х - як ПРИРІСТ Функції змінної. Оскількі дана функція має частинні похідні, то за теоремою Лагранжа отрімаємо: В
.
Похідні та неперервні в точці М, тому
,
.
Звідсі віпліває, что
,
,
де, - Нескінченно Малі Функції при і.
Підставляючі ці вирази у Рівність (2), знаходимо
, а це ї означає, что функція діференційовна в точці.
З теорем 2 і 3 віпліває такий наслідок: щоб функція булу діференційовною в точці, звітність,, щоб вона мала в Цій точці частинні похідні, и Достатньо, щоб вона мала в Цій точці неперервні частинні похідні.
Зазначімо, что для Функції однієї змінної Існування похідної в точці є необхідною и Достатньо умів ее діференційовності в Цій точці.
Повний діференціал Функції та йо! застосування до обчислення функцій и похібок. Діференціалі Вищих порядків
Нагадаємо, что коли функція діференційовна в точці, то ее повний ПРИРІСТ у Цій точці можна податі у вігляді
,
де и прі.
ПОВНЕ діференціалом діференційовної в точці Функції назівається лінійна відносно та частина полного приросту цієї Функції в точці M, тоб
. (3)
Діференціаламі незалежних змінніх x та назвемо Приріст ціх змінніх. Тоді з урахуванням теореми 2 Рівність (3) можна записатися так:
. (4)
Аналогічна формула має місце для діференційовної Функції трьох змінніх:
. (5)
З формул (4) і (5) может здать, что повний діференціал існуватіме у Кожній точці, в якій існують частинні похідні. Альо це не так. Згідно з означенность, повний діференціал можна розглядаті позбав Стосовно діференційовної Функції. p> теореми та формула для діференціалів Функції однієї змінної Повністю зберігаються и для діференціалів функцій двох, трьох и т.д. змінніх. Так, Незалежності від того, від якіх аргументів залежався Функції u І, всегда справедливі рівності
В В В В
Покажемо, что різніця между ПОВНЕ приростом и діференціалом при i є Нескінченно мала величина ВИЩОГО порядку, чем величина.
Дійсно, з формул (1) і (3) маємо
,
оскількі Функції - Нескінченно Малі при,, а та - обмежені Функції:
.
Отже, різниця - Нескінченно мала величина ВИЩОГО порядку, чем. Тому повний діференціал назівають такоже Головною Частинами полного приросту діференційовної Функції. При цьом віконується набліжена Рівність або
. (6)
Ця Рівність тім точніша, чім Менша величина. Рівність (6) широко вікорістовується у набліженіх обчисления, оскількі діференціал Функції обчіслюється простіше, чем повний ПРИРІСТ. p> Покажемо, як за помощью діференціала можна оцініті похібку в обчисления.
Нехай задана діференційовна функція, незалежні змінні Якої віміряні з точністю. Потрібно найти похібку, з Якою обчіслюється u. p> Природно вважаті, что ця похібка дорівнює велічіні
.
Для малих значень м...
