вка, что повний діференціал Функції має інваріантну (незмінну) форму Незалежності від того, чи є x та Незалежності зміннімі, чі діференційовнімі функціямі змінніх u та v. Прото формули (4) і (14) однакові позбав за формою, а по суті Різні, бо у Формулі (4) і-діференціалі незалежних змінніх, а у Формулі (14) і-повні діференціалі функцій та. p> Діференціалі Вищих порядків Властивості інваріантності НЕ мают. Наприклад, ЯКЩО, де,, то
(15)
Формула (15) відрізняється від формули (8), оскількі для складеної Функції діференціалі та могут и НЕ дорівнюваті нулю. Отже, для складеної Функції, де,, формула (8) неправильна. br/>
5 Діференціювання неявної Функції
Нехай задано рівняння
, (16)
де - функція двох змінніх.
Нагадаємо, что коли шкірному значень x з деякої множини відповідає єдине значення, а Яку разом з x задовольняє рівняння (16), то кажуть, то багато рівняння задає на множіні неявно функцію.
Таким чином, для неявної Функції, заданої рівнянням (16), має місце тотожність
.
Які ж умови має задовольняті функція щоб рівняння (16) візначало неявно функцію и при тому єдину? Відповідь на це запитання Дає така теорема Існування неявної Функції [8]. p> Теорема. Нехай функція и ее похідні та візначені та неперервні у будь-якому околі точки І, а; тоді існує окіл точки, в якому рівняння візначає єдину неявно функцію, неперервно та діференційовну в околі точки и таку, що.
Знайдемо похідну неявної Функції. Нехай ліва частина рівняння (16) задовольняє зазначені в теоремі умови, тоді це рівняння задає неявно функцію, для Якої на деякій множіні точок x має місце тотожність. Оскількі похідна Функції, что тотожня дорівнює нулю, такоже дорівнює нулю, то повна похідна. Альо за формулою (12) маємо, того, Звідки
. (17)
За цією формулою знаходять похідну неявної Функції однієї змінної.
