Які є наслідкамі дерло чотірьох.
Властівість 5.
При будь-якому натуральному и
, (5)
а при довільному
(6)
Дійсно, при справедливість нерівності (5) трівіальна, о з припущені, что воно вірно при Деяк чинності Властивості 4), отрімаємо
В
Звідсі віпліває, что воно вірно при всех натуральних.
Если ж - Довільне додатне число, то згідно Властивості 2) i нерівності (5) будемо мати
В
Відзначімо, что нерівність, тоб перша частина нерівності (6), є точною у тому СЕНСІ, что в ньом множнік НЕ можна Зменшити. Для цього покажемо, что при будь-якому нецілому існують Модулі неперервності, для якіх ця нерівність перетворюється в Рівність при Деяк. p> обмежуючися для означеності випадка Припустиме
В
(дів. рис. 6). Тоді, очевидно, І, отже, при Знайдемо
В
Властівість 6.
Для будь-якого при всех будемо мати
(7)
Дійсно, для будь-якого маємо
В
Звідсі и віпліває нерівність (7).
В
Рис. 6. br/>
Приклад Функції
В
показує, что стала в правій частіні нерівності (7) не может буті збільшена.
Наведемо наступні два Означення.
Означення 2.
Будемо Говорити, что задана на сегменті функція є опукло вгору, ЯКЩО при довільніх має місце нерівність
(8)
Означення 3.
Нехай - довільній модуль неперервності, визначеня на Деяк сегменті. Назвемо найменша опукло вгору мажоранту модуля неперервності Функції, яка візначається за формулою
(9)
Ця функція служити, очевидно, графіком крівої, что обмежує зверху найменшу опукло фігуру, яка містіть в Собі кріволінійну трапецію, обмеженності зверху кривою знизу - віссю абсцис, а праворуч - прямою Вона володіє такими властівостямі:
Властівість 7.
а) Функція є модулем неперервності, так что
и
В
б) модуль неперервності є опукло вгору и того
В
, (10)
в) при будь-якому мают місце нерівності
В
Перша з ціх нерівностей є очевидною. Друга віпліває з того, что в силу (9) при будь-яких буде
В
де точні Верхні Межі знаходяться за умови.
4. Необхідна и Достатньо Умова рівномірної неперервності
Означення 4
Функція, розміщена на множіні, назівається рівномірно неперервно на, ЯКЩО для будь-якого існує, Такі, что для будь-яких двох точок,, Які задовольняють умову
,
віконується нерівність
В
Теорема 1.
Для того щоб функція, Визначи на множіні, булу рівномірно неперервно на Цій множіні, звітність, и Достатньо, щоб
(11)
Доведення
Нехай функція рівномірно неперервно на множіні, то...
