Розглянемо функцію на інтервалі. При будь-якому фіксованому,, маємо
В
при
Таким чином,
В
Приклад 7.
Нехай при
В
и нехай - періодічного продовження Функції на всю Вісь. Тоді, ЯКЩО функцію розглядаті на сегменті Довжина так, что (рис. 4),
В
Рис. 4. br/>В
то, легко Бачити (рис. 5)
В
Рис. 5. br/>В
тоб модуль неперервності Функції: у точці НЕ досягає свого найбільшого значення І, отже, відрізняється від модуля неперервності цієї Функції на всій осі.
3. Властивості модуля неперервності
1) ;
2) є функція, монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ;
3) є функція неперервно;
4) є функція напівадітівна в тому СЕНСІ, что для будь-яких и
, (2)
Доведення
Властівість 1) віпліває з Означення модуля неперервності.
Властівість 2) віпліває з того, что при великих нам доводитися розглядаті на більш шірокій множіні значення.
Властівість 3) так як функція рівномірно неперервно на, то при, отже, для будь-яких
В
прі, а це и означає, что функція неперервно.
Властівість 4) віпліває з того, что ЯКЩО ми число подам у вігляді І, то отрімаємо
В
З нерівності (3) віпліває, что ЯКЩО, то тоб
, (4)
Зх Властивості 3) віпліває властівість 4).
Насамкінець наведемо наступні зауваження:
Зауваження 3.
Цімі чотірма властівостямі модуль неперервності Повністю візначається в тому СЕНСІ, что будь-яка функція, яка ними володіє, служити модулем неперервності для деякої неперервної Функції, а самє, для самої себе: так что для Такої Функції.
Дійсно, ЯКЩО для,, справедливі Властивості 1) - 4), то тоді для будь-яких,, маємо и при довільному
,
тоб.
Тому, надалі модулем неперервності будемо назіваті будь-яку функцію, яка задовольняє Наведеним Вище властівостям 1) - 4).
Зауваження 4.
З перерахованого чотірьох властівостей остання властівість (напівадітівності) перевіріті НЕ всегда легко. Тому ставити Інтерес наступна Достатньо Умова напівадітівності деякої Функції. p> Если є незростаючою функцією, то функція - напівадітівна.
Дійсно, ЯКЩО, то
, при
І, віпліває,
В
что ї нужно Було довести.
Наведені зауваження дають можлівість привести наступні Важливі Приклади модуля неперервності.
Приклад 8.
Всі Функції увазі, де І, є модулями неперервності.
Приклад 9.
При функція
В
є модулем неперервності
Приклад 10.
При функція
В
є модулем неперервності.
Крім перерахованого, модуль неперервності володіє ще Наступний властівостямі,...
