рішення задачі для дрібної сітки при обліку 5 гармонік В
Рис. 3. Аналітичне рішення задачі для великої сітки при обліку 5 гармонік
В
Рис. 4. Аналітичне рішення задачі для дрібної сітки при обліку 100 гармонік
З малюнків 2 і 4 видно, що кількість гармонік не впливає на графік функції, на відміну від масштабу сітки (рис. 2 і 3).
При цьому для великої сітки в командному вікні виводяться значення функції у вузлах сітки:
В
Рис. 5. Значення функції, обчисленої наближено у вузлах великої сітки при обліку 5 гармонік
Знайдемо в заданій точці значення функції. Для це скористаємося можливостями MatLab. А потім побудуємо цю точку на графіку аналітичного рішення для дрібної сітки при обліку 5 гармонік. Для цього створимо M-file В«pointВ» (додаток 3) і запустимо його. br/>
2. Дискретна модель
При знаходженні чисельного рішення крайової задачі ми використовуємо метод сіток - чисельний метод, при якому крайова задача для диференціального рівняння замінюється системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) відносно наближених значень шуканої функції у вузлах сітки (різницевої схеми).
2.1 Побудова дискретної моделі і вибір сітки
Постановка завдання містить прямокутну область Д, для неї природно використовувати прямокутну сітку, вузли якої утворені перетином прямих ліній, проведених в декартовій системі координат.
В
В
Крок по осі:,
Крок по осі:,
де - довжина стрижня,
- розглянутий проміжок часу, - номери вузлів по осях і відповідно,
- кількість вузлів по осі,
- кількість вузлів по осі.
Отримуємо, що - граничні вузли; - внутрішні вузли.
2.2 Різницева схема і різницева задача
Підставляючи вибрані шаблони в безперервну модель, отримуємо різницеве ​​рівняння для внутрішніх вузлів:
В
Різницева завдання - це записана за вибраних значеннях кількості вузлів M і N і, отже, кроків, різницева схема. У різницевої схемою залежать один від одного таким чином, щоб виконувалася умова стійкості розв'язку:
.
3. Чисельне рішення задачі методом В«біжитьВ» рахунку
.1 В«РучнийВ» рахунок методом В«біжитьВ» рахунки для великої сітки
Нехай,,,,,, тоді з умови стійкості отримуємо, що крок по осі можна взяти Вибрані значення параметрів дають наступну точність обчислення різницевого розв'язку:
В
Тоді різницева схема буде виглядати наступним чином:
В
Перетворивши, отримаємо:
В
При розрахунку сітки необхідно провести згладжування і допустити, що. Обчислимо, чому дорівнюють інші вузли сітки:
Таблиця ...
