br/>В
З граничних умов слід:
, тому що , То
В В В В
за умовою і, т.к. отже,
Звідси отримуємо, що власні значення крайової задачі рівні:
В
Тоді власні функції крайової задачі мають вигляд:
В
Функції ортогональні, але не ортонормірованни тому прі. Отже, власні функції задачі з урахуванням нормировки мають наступний вигляд:
В
Розглянемо рішення рівняння
Для знаходження рішення цього рівняння складемо характеристичне рівняння:
В
Коріння цього характеристичного рівняння:
В
Отже, загальне рішення можна записати у вигляді:
В
Кожному відповідає своє рішення:
В
Рішення завдання складаємо як лінійну комбінацію з рішень, відповідних кожному.
В В В
Нехай, тоді:
В В
Для знаходження коефіцієнтів і використовуємо початкові умови:
В
Так як лінійна комбінація лінійно незалежних функцій дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то.
В В В В В В В
Отже,
В
Таким чином:
В В
Вимушені коливання
Розглянемо завдання для, яка описує вимушені коливання стрижня
В
граничні умови:
В
початкові умови:
В
Рівняння є неоднорідним, але нульові граничні умови дозволяють будувати рішення у вигляді:
В
Нехай функція задовольняє умовам Дирихле на проміжку, тоді її можна представити у вигляді:
В
де коефіцієнти обчислюються наступним чином:
В
В
тобто:
В
Підставляючи в рівняння розкладену в ряд Фур'є функцію, отримуємо:
В В В
Отримали рівність двох лінійних комбінацій, в цьому випадку коефіцієнти рівні:
В
Дане рівняння є неоднорідним диференціальним рівнянням II порядку з постійними коефіцієнтами. Загальне рішення такого рівняння складається з суми загального рішення однорідного рівняння і приватного рішення неоднорідного рівняння II порядку
Загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння II порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:
В
Загальне рішення однорідного диференціального рівняння можна представити у вигляді:
В
Побудова графіків наближеного рішення при обліку п'яти і набагато більше п'яти гармонік в середовищі MatLab. Для побудови графіка наближеного рішення створений M-file (додаток 1), в якому записана функція, що описує аналітичне рішення задачі. Використовуючи функцію з В«analiticВ», побудуємо графіки наближеного рішення, для великої сітки і дрібної сітки при обліку 5 і 100 гармонік. Для це створимо M-file В«a_reshenieВ» (додаток 2) і запустимо його. Отримаємо наступні графіки:
В
Рис. 2. Аналітичне...
