вигляді або.
Будь-яке ціле число можна представити у вигляді, або.
Приклади:
. Якою цифрою закінчується число 3?
Рішення: Так як число 3 закінчується цифрою 1, то і будь-яка його ступінь виду (3) закінчується цифрою 1. Знайдемо залишок від ділення числа 1995 на 4. Маємо 1995=4? 498 +3. Значить, 3=(3)? 3. Перший множник закінчується цифрою 1, а другий - цифрою 7. Значить, твір закінчується цифрою 7, тобто число 3 закінчується цифрою 7.
. Які залишки можуть вийти при діленні квадрата цілого числа на 3?
Рішення: Будь-яке число a відповідно із залишками від ділення його на 3 може бути представлено в одному з видів: a=3k, a=3k +1, a=3k +2 (k-ціле число ).
Відповідно отримуємо
a=9k=3 (3k),
a=(3k +1)=9k +6 k +1=3 (3k +2 k) +1,=(3k +2)=9k +12 k +4=3 (3k +4 k + 1) +1.
Ми бачимо, що число a або ділиться на 3, або при діленні на 3 дає залишок 1. Тим самим ми показали, що квадрат цілого числа при діленні на 3 не може дати залишок 2.
. Доведемо, що, якщо залишок від ділення числа на 9 є 2, 3, 5, 6, 8, то це число не може бути квадратом цілого числа.
Рішення: Розглянемо класи чисел, на які розбивається безліч цілих чисел при діленні на 9.
9k ± 1 (9k ± 1)=81 k ± 2? 9k +1=9 (9k ± 2k) +1
k ± 2 (9k ± 2)=81 k ± 4? 9k +4=9 (9k ± 4k) +4
k ± 3 (9k ± 3)=81 k ± 3? 9k +9=9 (9k ± 2k) +1
k ± 4 (9k ± 4)=81 k ± 4? 9k +16=9 (9k ± 4k +1) +7
9k (9k)=9? 9k
При розподілі на 9 цілі числа, які є повними квадратами, дають в залишку числа 0, 1, 4, 7. Отже, числа, що дають в залишку 2, 3, 5, 6, 8 не можуть бути квадратами цілих чисел.
Глава IV. Прості і складені числа
Визначення 2.3. Ціле позитивне число 1> р називається простим, якщо воно має рівно два позитивних дільника: 1 і р. Визначення 2.4. Ціле позитивне число m> 1 називається складовим, якщо воно має, принаймні, один позитивний дільник відмінний від 1 і m. Приклади:
1. 3 має рівно 2 дільника: 1 і 3, за визначенням 2.3, воно просте.
2. 4 має своїми дільниками 1, 4 і 2, за визначенням 2.4, число 4 - складене.
Зауваження 2.5. Відповідно до визначень 2.3 і 2.4 все безліч цілих позитивних чисел можна розбити на три підмножини: прості числа; складені числа; 1
Зауваження 2.6. Існує єдине просте парне число 2. Всі інші парні числа є складовими.
Перелічимо основні властивості простих чисел.
Теорема 2.7. Якщо р і р 1 - прості числа і р р 1, то р не ділиться на р 1, і р 1 не ділиться на р.
Теорема 2.8. Якщо твір декількох цілих чисел ділиться на просте число р, то щонайменше один із співмножників ділиться на р.
Теорема 2.9. Для будь-якого цілого позитивного числа n> 1 найменший, відмінний від одиниці позитивний дільник завжди являє собою просте число.
Теорема 2.10. (основна теорема арифметики). Усяке ці...
