анок ділиться на с.
Властивості подільності знаходять застосування при вирішенні завдань.
Приклади:
. Нехай a ділиться на b і з ділиться на d. З'ясуємо, чи ділиться твір ac на bd.
Рішення: З визначення подільності випливає, що a=bk, с=dm, де k і
m - цілі числа. Звідси
AС=(bk) (dm)=(bd) (km).
Так як k і m - цілі числа, то km є цілим числом. Значить, існує таке ціле число, при множенні якого на bd у творі виходить AС, тобто за визначенням, AС ділиться на bd.
2. Доведемо, що при будь-якому натуральному n, більшому 1, число n +4 є складовим.
Рішення: Розкладемо суму n +4 на множники:
n +4=n +4 +4 n - 4 n=(n +2) - (2n)=(n +2 +2 n) (n +2-2 n).
При n? N і n> 1 кожен з множників є натуральним числом, більшим 1. Для першого множника це очевидно, для другої це модно довести, виділивши з нього квадрат двочлена: n +2-2 n=n - 2n +1 +1=(n -1) +1. Значить, при n? N і n> 1 число n +4 має два натуральних дільники, великих 1, тобто є складовим числом.
Глава II. Властивості подільності
Визначення. Нехай - цілі числа. Кажуть, що число ділиться на, якщо можна представити у вигляді
де - ціле число.
Інакше: - дільник.
Позначення:.
Нехай - цілі числа, число - просте.
. Якщо в рівності два числа діляться на, то і третє число ділиться на.
. Якщо, то.
. Якщо і, то.
. Якщо, то або, або.
Приклад. Довести, що якщо і, то і.
Рішення
Звідки
І
Глава III. Ділення з залишком
Вище був описаний випадок, коли говорять про так зване розподілі числа без остачі, але так буває далеко не завжди, в цьому випадку розглядають поділ з залишком.
Визначення. Розділити ціле число a на ціле число b із залишком - це означає представити його у вигляді
=bq + r,
де q і r цілі числа, 0? r < ? b? .
Основну роль у всій арифметиці цілих чисел грає теорема про розподіл із залишком.
Теорема. Для будь-яких цілих a і b існує єдина пара чисел q і r, що задовольняють умовам,
=bq + r, 0? r < ? b? .
Зауваження. Зокрема, якщо, то і ділиться на.
Зауваження. Якщо
то q називається неповним приватним, а r - залишком від ділення a на b.
З теореми про розподіл із залишком слід, що при фіксованому цілому m> 0 будь-яке ціле число, а можна представити в одному з наступних видів:
При цьому, якщо то матимемо
, якщо і
, якщо.
Наприклад, будь-яке ціле число можна представити у ...
