ле позитивне число, відмінне від одиниці, може бути представлено у вигляді добутку простих співмножників і при тому єдиним чином (з точністю до порядку проходження сомножителей).
Таким чином, якщо m - ціле позитивне число, а р 1, р 2, ... р к - прості числа, то m =.
Якщо, при цьому, серед чисел р 1, р 2, ..., р к є однакові, то можна записати канонічне уявлення цілого числа, представивши твір однакових співмножників у вигляді ступеня:
=
Ми з'ясували, що безліч натуральних чисел можна розбити на три підмножини. Постає питання про числі простих чисел в нескінченному натуральному ряду. Чи існують прості числа серед великих натуральних чисел, чи з якого то певного числа всі натуральні числа, наступні за ним, будуть складовими? Виявляється, що хоча в натуральному ряду можна знайти ділянки складених чисел будь-якої довжини, безліч простих чисел нескінченно. Це твердження було доведено ще давньогрецьким математиком Евклідом і входить в його знамениті «Начала». Наведемо тут доказ цього твердження:
Теорема 2.11. Безліч простих чисел нескінченно.
Доказ. Доказ проведемо від супротивного. Нехай безліч простих чисел звичайно, і нехай р - найбільше просте число. Розглянемо натуральне число N, яке є твором всіх простих чисел, тобто
і додамо до цього числа 1:
.
Очевидно, що отримане число не ділиться ні на одне просте число від 1 до р, отже отримуємо, що N=1, але безпосередньо видно, що N> 1. Отримали протиріччя, яке виникло через те, що ми зробили неправильне припущення. Отже, безліч натуральних чисел нескінченно.
Таким чином, яку б довгу серію послідовних складених чисел ми ні зустріли в ряду натуральних чисел, ми можемо бути переконані в тому, що за нею знайдеться ще нескінченну безліч простих чисел.
.1 Властивості подільності чисел
Подільність чисел має властивості :
. Якщо а і р-натуральні числа, причому р-просте, то або а ділиться на р, або а і р взаємно прості.
Наприклад 15і 11. 15і5.
. Якщо М-спільне кратне а і b, а т - їх найменше спільне кратне, то М ділиться на т.
Наприклад, 3 і 5. Їх кратне 90, найменше спільне кратне 15, тоді 90 ділиться на 15.
. Рефлексивность : якщо а ділиться на b, то і b ділиться на а.
Ця властивість очевидно, як і те, що будь-яке рівність можна читати як справа наліво, так і зліва направо
4. Транзитивність: якщо а ділиться на b і b ділиться на с, то і а ділиться на с.
Роз'яснимо транзитивність нам конкретному прикладі: 36:12, 12:4, тоді й 36:4 Крім того, неважко помітити, що подільність чисел практично ніяк не пов'язана з їх величиною: існують маленькі числа, які діляться на порівняно велика кількість чисел. Наприклад, 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12. І число 43 має тільки два дільника: 1, 43.
Ознаки подільності на 2
Необхідно і достатньо, щоб остання цифра була парною.
Наприклад:
У числі 29654 остання ц...
