ьних рівнянь, отримаємо, використовуючи двовимірне інтегральне перетворення Фур'є і теорію узагальнених функцій. За допомогою граничних умов на лінії розрізу та отриманих інтегральних уявлень побудуємо дозволяють системи сингулярних інтегральних рівнянь типу Коші. Після чисельного рішення системи сингулярних інтегральних рівнянь за допомогою інтегральних уявлень знайдемо обурене температурне поле в будь-якої заданої області оболонки.
.1 Застосування двовимірного інтегрального перетворення Фур'є до вихідних співвідношенням
Компоненти термопружної стану безупинні у всій розглянутій області за винятком лінії розрізу, на якій ці функції можуть мати розриви першого роду.
Згідно теорії узагальнених функцій похідна в узагальненому сенсі від розривної функції визначається за формулою [7]
, (2.1)
де - функція, що має розрив першого роду в точці;
- класична похідна функція;
- дельта-функція;
- стрибок функції в точці розриву,.
У випадку двох незалежних змінних похідні в узагальненому сенсі по координатних осях від розривної функції визначаються співвідношенням [7; 11]
(2.2)
Тут - напрямні косинуси нормалі до лінії;- Стрибок функції при переході через лінію;- Дельта-функція, зосереджена на лінії розрізу, обумовлена ??співвідношенням
,
де - координати точки на лінії. Напрямок інтегрування, що відповідають фізичному змісту розв'язуваних завдань, утворює прямий кут з нормаллю при обертанні проти годинникової стрілки.
Аналогічно визначаються другі похідні від функції:
(2.3)
Розглянуті завдання вирішують з використанням двовимірного інтегрального перетворення Фур'є. Формула переходу в простір трансформант виглядає наступним чином [4]: ??
(2.4)
Застосуємо формулу (2.4) до співвідношень (2.2), (2.3) і знайдемо вирази для похідних в просторі трансформант
(2.5)
(2.6)
Звідси вираз для оператора Лапласа:
(2.7)
,
.
Знайдемо рішення задачі теплопровідності в просторі трансформант. Для цього застосуємо формулу (2.4) до рівнянь (1.3). У результаті перетворень прийдемо до системи лінійних рівнянь
. (2.8)
Вирішуючи систему (2.8) щодо трансформанти, отримуємо
(2.9)
Тут - трансформанта інтегральної характеристики температури основного температурного поля, в даному випадку середня температура.
Трансформантів ядер в (2.9) мають наступний вигляд:
Трансформантів ядер, що стоять при скачках основних змінних (ядра з індексами 11, 22), представлені у вигляді суми двох доданків. Перше з них відповідає випадку пластини з термоізольовані поверхнями і називається «плоскою частиною без теплообміну», другий відмінно від нуля при наявності теплообміну в пластині, а також при розгляді оболонок. Воно носить характер «добавки» до плоскої частини без теплообміну і залежить від кривизни оболонки і параметрів теплообміну. ??
Таким чином, співвідношення (2.9) дають рішення задачі теплопровідності в просторі трансформант. При цьому, слідуючи (1.8), інтегральний член в (2.9) являє собою трансформанти інтегральних характеристик температури обуреного температурного поля.
