2.1 Розрахункова схема
В
p> Рис.2.1 Розрахункова схема однопрогоновою вільно опертої балки.
В
2.2 Вихідні дані
Довжина
балки
"L",
м
Інтенсивність ваги балки
"q"
кгс/cм
Модуль пружності
матеріалу
"Е"
МПа
Момент інерції поперечного перерізу
"I"
см 4
8.2
0.22
210000
6200
2.3 Диференціальне рівняння вільних коливань пружної системи
Враховуючи даламберови сили, диференціальне рівняння вільних коливань однопрогоновою балки має вигляд:
(2.1)
В
2.4 Загальне рішення коливань пружної системи
(2.2)
2.5 Диференціальне рівняння для форм головних вільних коливань призматичного стрижня
(2.3)
де
(2.4)
2.6 Загальний інтеграл диференціального рівняння для форм головних вільних коливань
(2.5)
В
2.7 Граничні умови на вільно опертих кінцях балки
Граничні умови для розглянутого стрижня мають вигляд:
В
Вносячи сюди вираз (2.2), отримуємо граничні умови для форм вільних коливань:
(2.6)
2.8 Складання рівнянь з умов підпорядкування граничним умовам на лівому і правому кінцях балки
Підпорядковувавши вираз (2.5) граничним умовам (2.6) функції w k ( х ) при х = 0 і х = L отримуємо систему лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих постійних A k , B k , < b> C k і D / e
(2.7) <В
2.9 Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих постійних інтегрування
В
(2.8)
2.10 Визначник системи. Рівняння частот
Цікавить нас рішення, відмінне від нуля, отримуємо при рівність нулю визначника згаданої вище системи рівнянь (2.8):
В
Рівняння це називається рівнянням частот.
(2.9)
звідки рівняння частот буде мати вигляд:
(2.10)
Звідси рівняння частот прийме наступний вигляд:
sin Ој до = 0
Коріння цього рівняння частот будуть визначатися за формулою:
Ој k = ПЂk,
де k = l, 2, 3, ...
В
2.11 Формули для визначення частот вільних коливань
За знайденими з рівняння частот коріння Ој k ( k = +1, 2, 3, ..) за допомогою формули (2.4) визначаються частоти вільних коливань стержня:
(2.11)
Зауважимо, що зазвичай коріння Ој k , , а, отже , і частоти О» k , нумеруються в порядку їх зростання:
В
2.12 Розрахунок значення частот перших п'яти тонів вільних коливань вільно опертого призматичного стрижня
Розрахунок значення частот перших п'яти тонів вільних коливань вільно опертого призматичного стрижня починається з обчислення значення інтенсивності маси самого призматичного стрижня, а саме:
,
тоді частоти перших п'яти тонів вільних коливань (2.11) будуть рівні:
при k = 1:
,
при k = 2:
В
при k = 3:
В
при k = 4:
В
при k = 5:
В
2.13 Вираз для визначення форм вільних коливань вільно опертого призматичного стрижня
З рівнянь системи (2.8), якщо врахувати результат sin Ој до = 0 , випливає, що:
У до = 0.
Таким чином, лише постійна D k виявилася не рівною нулю. Тоді на підставі формули (2.5), якщо підставити в неї знайдені вище значення A k , B k і C k , отримаємо вираз для форм коливань вільно опертої балки:
(2.12)
Таким чином, форма коливань може бути визначена з точністю до постійного множника, значення якого зазвичай вибирається виходячи з зручності обчислень.
2.14 Розрахунок і побудова форм перших п'яти тонів головних віль...
