1. Вирішити рівняння
В
Рішення:
- рівняння із перемінними
В
Проинтегрируем обидві частини отриманого рівняння:
В
- загальне рішення рівняння
Відповідь:
2. Вирішити однорідне диференціальне рівняння
В
Рішення:
Зробимо заміну
В В
Проинтегрируем обидві частини отриманого рівняння:
В
Розкладемо подинтегральную дріб на суму найпростіших дробів:
В В
- загальний інтеграл диференціального рівняння
Відповідь:
3. Знайти приватне рішення лінійного диференціального рівняння
,
Рішення:
Вирішуємо рівняння методом Бернуллі:
В
Для вирішення вихідного рівняння необхідно вирішити систему рівнянь
(*)
Вирішимо перше рівняння системи (*):
В
Проинтегрируем обидві частини отриманого рівняння
В В
Підставимо знайдене вираз для функції в друге рівняння системи (*) і вирішимо його.
В
Проинтегрируем обидві частини отриманого рівняння.
В
- спільне рішення диференціального рівняння
Знайдемо приватне рішення рівнянні за умови.
В
- приватне рішення диференціального рівняння
Відповідь:
4. Знайти загальний інтеграл рівняння
,
Рішення:
,
В
Таким чином, дане рівняння - рівняння в повних диференціалах.
В
Вирішимо друге рівняння системи:
В
Знайдемо від знайденої функції і підставимо в перше рівняння отриманої вище системи:
В В
- загальний інтеграл диференціального рівняння
Відповідь:
5. Знайти рішення рівняння, що задовольняє початковим умовам
,,
Рішення:
Знайдемо спільне рішення однорідного рівняння, відповідного даному неоднорідному. Для цього складемо характеристичне рівняння:
В
Тоді загальне рішення однорідного рівняння запишемо у вигляді
В
Для знаходження приватного рішення неоднорідного рівняння складемо систему
В
Вирішимо отриману систему методом Крамера. Обчислимо головний визначник:
В
Обчислимо побічні визначники:
В
Приватне рішення запишемо у вигляді
В
Тоді загальне рішення неоднорідного рівняння має вигляд:
В
Знайдемо приватне рішення, що відповідає початковим умовам.
В В
- рішення задачі Коші
Відповідь:
6. Вирішити рівняння
В ...
