ign="justify"> Звернемося тепер до іншої задачі: «12 олівців роздали 3 учням порівну. Скільки олівців отримав кожен? »
Вона також вирішується поділом: 12:3=4 (олівця). Але число 4 тут виступає в іншому сенсі - як число елементів в кожному з трьох рівнопотужних непересічних підмножин, на які розбито безліч, що містить 12 елементів (рис.2).
Рис. 1 Рис. 2
Іншими словами, розподіл чисел пов'язано з розбиттям кінцевих множин на рівночисельний попарно непересічні підмножини. При цьому вирішуються два завдання: знаходження числа елементів в кожному підмножині (поділ на частини) і знаходження числа таких підмножин (ділення за змістом) [21,147].
У загальному вигляді приватна цілого невід'ємного числа а і натурального числа b визначається наступним чином:
Визначення. Нехай а=n (А) і безліч А розбито на попарно непересічні рівнопотужні підмножини.
Якщо b - число підмножин в розбитті множини А, то приватним чисел а і b називається число елементів кожної підмножини.
Якщо b - число елементів кожної підмножини в розбитті множини А, то приватним чисел а і b називається число підмножин в цьому розбитті [20,274].
Дія, за допомогою якого знаходять приватна а: b, називається поділом, число а - діленим, b - дільником.
Часто, щоб перевірити правильність виконання дії ділення, ми звертаємося до множення. Чому? Очевидно, тому, що дії ділення і множення взаємопов'язані. Але яка ця зв'язок?
Нехай а=n (А) і безліч А розбито на b попарно непересічних рівнопотужних підмножини А 1, А 2, ..., А b. Тоді з=a: b є число елементів в кожному такому підмножині, тобто
с=a: b=n (A 1)=n (A 2)=...=n (A b).
Оскільки за умовою
A=A1 A2 ... Аb,
то n (А)=n (A1A2. .. Ab).
Але підмножини А1, А2, ..., Аb попарно не перетинаються, значить, за визначенням суми
(A1A2. .. Ab)=n (A1) + n (A2) + ... + n (Ab)=с + с + ... + с.
b доданків
Відповідно до визначення твору сума b доданків, кожне з яких дорівнює c, є твір з · b.
Таким чином, встановлено, що а=с · b, тобто приватним чисел а і b є таке число с, твір якого і числа b дорівнює а. До такого ж висновку ми прийдемо, якщо приватне с=а: b буде числом підмножин в розбитті множини А.
Таким чином, отримуємо друге визначення приватного:
Визначення. Приватним цілого невід'ємного числа а і натурального числа b називається таке ціле невід'ємне число с=а: b, твір якого і числа b дорівнює а.
Можна показати і наявність зворотного зв'язку, тобто що з другого визначення приватного випливає перше:
а: b=с а=с · b
Отже, у другому випадку приватне визначено через твір. Тому кажуть, що поділ є дія, зворотне множенню.
Чи завжди існує приватна натуральних чисел a і b? Відповідь на це питання дає наступна теорема:
Теорема. Для того щоб існувало приватне двох натуральних чисел а і b, необхідно, щоб bа.
Доказ. Нехай приватна натуральних чисел a і b існує, тобто існує таке натуральне число с, що а=с · b. Для будь-якого натурального числа ...
