ів Лагранжа.
Зафіксуємо у функції Лагранжа значення множників Лагранжа, представивши її як функцію тільки змінних:. Щоб з'ясувати, чи є точка точкою умовного екстремуму аналізованої функції, потрібно проаналізувати диференціал другого порядку функції у точці, що є квадратичною формою від збільшень змінних. Розглянемо цей диференціал як квадратичну форму на лінійному підпросторі в, заданому системою лінійних рівнянь,.
Теорема 3. Нехай функції:,:,, двічі безперервно діфференцируєми в околиці точки,, і координати точки разом з координатами деякого вектора задовольняють системі рівнянь (10).
Тоді:
) якщо квадратична форма позитивно певна, то функція має в точці строгий умовний локальний мінімум за умови;
) якщо квадратична форма негативно певна, то функція має в точці строгий умовний локальний максимум за умови;
) якщо квадратична форма знакопеременная, то функція в точці не має умовного екстремуму.
Теорема 3 стверджує, що для перевірки точок, підозрілих на умовний екстремум, необхідно проаналізувати квадратичну форму, тобто диференціал другого порядку функції Лагранжа, при значеннях диференціалів,, які задовольняють системі лінійних рівнянь
Матриця цієї системи лінійних алгебраїчних рівнянь збігається з матрицею приватних похідних функцій в точці, ранг якої за умовою теореми 2 дорівнює. Отже, система (11) дозволяє висловити диференціалів через що залишилися диференціалів. Зафіксуємо відомі значення множників Лагранжа (координат вектора). Розглядаючи функцію Лагранжа як функцію лише змінних,. . . ,, Обчислимо її диференціал другого порядку в точці. Виключимо з квадратичної форми зазначені диференціалів. Отримаємо квадратичну форму щодо диференціалів. Якщо ця квадратична форма є позитивно визначеною (негативно певної, знакозмінної), то в точці функція має умовний локальний мінімум (умовний локальний максимум, не має умовного локального екстремуму). Якщо зазначена квадратична форма від змінних вироджена, але зберігає знак (непозитивним або неотрицательно визначена), то в точці функція може мати умовний локальний екстремум, а може і не мати. У цьому випадку по виду другого диференціала в точці виявити поведінку функції не можна і потрібні інші методи дослідження.
Приклад 3. У прикладі 2 рівняння дає, звідки можна, наприклад, виразити через:. Диференціал другого порядку функції Лагранжа при фіксованому значенні в точці має вигляд. Виключаючи з другого диференціала, отримуємо квадратичну форму, яка негативно визначена.Отже, в точці ми маємо умовний локальний максимум.
Приклад 4. Досліджуємо на умовний екстремум функцію за умови, де.
Функція, як і функція, є принаймні двічі безперервно диференціюється на всій площині. Складемо функцію Лагранжа
Запишемо систему (10) необхідних умов умовного екстремуму
З першого рівняння знаходимо, що або, або. У першому випадку () з третього рівняння випливає, що, а з другого - що. У другому випадку () з другого рівняння відразу отримуємо, що. Остаточно, використовуючи третє рівняння, укладаємо, що є чотири точки, підозрілі на умовний екстремум
Досліджуємо ці чотири точки, заст...
