з заданою точністю. При цьому витрати на обчислення різко зменшуються з збільшенням порядку апроксимації p, тобто при більшому p можна досягти тієї ж точності, використовуючи більш великий крок h.
3. Види конечно-різницевих схем
Велика розмаїтість методів обумовлено можливістю по-різному вибирати вузли і квадратурні формули для апроксимації інтеграла в (4) при отриманні схеми (5).
Відомі такі звичайно-різницеві схеми:
1. Явна схема 1-го порядку (Ейлера)
2. Неявна схема 1-го порядку
. Неявна схема 2-го порядку
. Схема предиктор-коректор (Рунге-Кутта) 2-го порядку
. Багатокрокові схеми Адамса
3.1 Явна схема 1-го порядку (Ейлера)
. Похибка апроксимації y (h) і відповідно точність? (H) мають перший порядок в силу того, що формула лівих прямокутників на інтервалі має похибку другого порядку, а схема стійка.
3.2 Неявна схема 1-го порядку
Ефективність неявної схеми полягає в тому, що у неї константа стійкості С0 значно менше, ніж у явної схеми.
3.3 Неявна схема 2-го порядку
Так що формула трапецій має третій порядок точності на інтервалі, то похибка апроксимації y (h) - другий.
.4 Схема предиктор-коректор (Рунге-Кутта) 2-го порядку
Для вирішення цього рівняння існує спосіб, при якому розраховують предиктор. При цьому схема виявляється явною і має другий порядок.
3.5 Багатокрокові схеми Адамса
При побудові всіх попередніх схем для обчислення інтеграла в правій частині (4) використовувалися лише точки в діапазоні одного кроку. Тому при реалізації таких схем для обчислення наступного значення потрібно знати тільки одне попереднє значення, тобто рекуррентная послідовність виходить першого порядку. Такі схеми називають однокроковими. Ми, однак, бачили, що для підвищення точності при переході від xk до xk +1 доводилося використовувати і значення функції F усередині інтервалу. Схеми, в яких це використовується (M4, M5, ...), називають схемами з дробовими кроками. У цих схемах підвищення точності досягається за рахунок додаткових витрат на обчислення функції F (x) в проміжних точках інтервалу.
Ідея методів Адамса полягає в тому, щоб для підвищення точності використовувати вже обчислені на попередніх кроках значення
Список літератури
1. Синіцин О.К., Навроцький А.А. Алгоритми обчислювальної математики: навчально-метод. посібник з курсу «Основи алгоритмізації та програмування» - Мн.: БДУІР, 2007. - 80 с.
2. Синіцин А. К. Практикум з курсу «Алгоритми обчислювальної математики»: навч. посібник для студ. 1-2 го курсів усіх спец.- Мн. : БДУІР, 1996.
3. Синіцин А. К., Навроцький, А. А. Алгоритми обчислювальної математики: лаб. практикум з курсу «Програмування» для студ. 1-2 го курсів усіх спец.- Мн. : БДУІР, 2002.
. Самарський А.А. Теорія різницевих схем.- М.: Наука, 1983
. Самарський А.А., Гулин А.В. Чисельні методи.- М.: Наука, 1987
. Марчук Г.І...
