2.3 Похибка апроксимації
При побудові різницевої схеми важливо знати, наскільки добре вона апроксимує вихідну диференціальну задачу.
При заміні диференціальної задачі різницевої допускається помилка - похибка апроксимації. Вона характеризується величиною нев'язок /
При заміні інтеграла наближеною квадратурної формулою вноситься похибка апроксимації диференціального рівняння різницевим. Вона характеризується величиною нев'язки, якщо в кінцево-різницевої рівнянні (5) підставити замість значення точного рішення:
.
Скориставшись співвідношенням (4), отримуємо просте вираження для обчислення:
, (6)
яка залежить від кроку сітки.
Кажуть, що різницева схема (5) апроксимує вихідну диференціальну задачу з порядком p, якщо при. З (6) випливає, що порядок апроксимації на 1 менше, ніж порядок похибки використовуваної квадратурної формули на інтервалі [xk, xk +1].
Чим більший порядок апроксимації p, тим вище точність рішення:
.
Для забезпечення близькості рішень разностной та диференціальної завдань необхідно, щоб при прагненні кроків сітки до нуля різницева задача в межі збігалася з диференціальної. Якщо ця вимога виконується, то кажуть, що різницева схема апроксимує диференціальну задачу.
.3 Стійкість
Інше джерело помилок, що вносяться до чисельне рішення, пов'язаний з похибкою округлення, що виникає безпосередньо при вирішенні різницевої задачі на ЕОМ. Помилки округлення неминучі, так як будь-яка обчислювальна машина може оперувати лише з кінцевим числом значущих цифр. Хоча в момент виникнення вони невеликі, проте при розрахунку великих рекурентних формул, якими є алгоритми методу сіток, первісна величина цих помилок може вирости настільки, що повністю спотворить сенс остаточного результату. Якщо це відбувається, то говорять, що чисельний метод (алгоритм) нестійкий. При досить тривалому рахунку нестійкість методу призводить до авосту - переповнення арифметичного пристрою машини. Якщо ж у процесі рахунку помилки округлення загасають або хоча б не зростають, такий обчислювальний алгоритм називають стійким. Для вирішення практичних задач використовуються тільки стійкі алгоритми.
Більш строго стійкість трактується як властивість безперервної залежності рішення різницевої задачі від вхідних даних, за яким всяке мала зміна вхідних даних (наприклад, внаслідок округлення) призводить до малого зміни рішення. Під вхідними даними звичайно розуміють праві частини різницевих рівнянь, граничних і початкових умов.
.4 Основна теорема методу сіток
Основна теорема теорії методу сіток стверджує, що якщо схема стійка, то при погрішність рішення прагне до нуля з тим же порядком, що і похибка апроксимації:
, (7)
де С0 - константа стійкості.
Нестійкість зазвичай проявляється в тому, що зі зменшенням h рішення при зростанні k, що легко встановлюється експериментально за допомогою прорахунку на послідовності сіток з уменьшающимся кроком h, h / 2, h / 4 ... Якщо при цьому, то метод нестійкий. Таким чином, якщо є апроксимація і схема стійка, то, вибравши досить малий крок h, можна отримати рішення і...
