. Обмеженнями (4) є початкові умови,,
і умови, що забезпечують м'яке примісячення:,.
Требуется мінімізувати сумарний витрата палива, тобто
.
Цей же функціонал можна записати і в інтегральному вигляді:
.3 Рішення завдання
Розглянутий приклад являє собою завдання оптимального управління із закріпленим початковим моментом, нефіксованим кінцевим моментом, закріпленим лівим кінцем траєкторії (і частково закріпленим правим кінцем).
Введемо позначення:
Побудуємо функцію Понтрягіна
,
Де - змінні пов'язаною системи
;
;
.
Таким чином, функція Понтрягіна - лінійна функція відносно. Максимального значення вона досягає лише на кордоні області визначення. Залишається з'ясувати, як веде себе множник, що стоїть перед,
.
Розглянемо похідну
.
Оскільки в нуль не звертається (), цей множник змінюється монотонно, не має ні максимуму, ні мінімуму.
Як правило, режим роботи двигуна наступний: якщо він включений, то тяга постійна і одно, якщо вимкнений - тяга дорівнює нулю. Тому має максимальне значення при.
Задача оптимального управління м'якої посадки, таким чином, зводиться до визначення моменту включення двигуна і моменту посадки.
Щоб ці моменти визначити, проинтегрируем диференціальні рівняння.
При маємо:
,,,,
.
На наступному відрізку часу отримаємо
,,
Візьмемо інтеграл, для чого скористаємося рівністю
Звідси
.
Крайове умова, приводить до наступних трансцендентним рівнянням, визначальним і:
,
де,
Отже, щоб зробити м'яку посадку, необхідно на космічному кораблі мати вимірювальні пристрої, що дають інформацію про висоту, швидкості і масі. Обчислювальний пристрій по заданих параметрах знаходить момент включення двигуна.
Висновок
Завдання оптимізації керованих процесів або завдання оптимального управління складають один з широких класів екстремальних завдань і мають важливе прикладне значення.
У загальному випадку завдання управління не можна обмежувати тільки досягненням деякого значення вектора стану. Може виявитися, що в такому строгому досягненні цього стану і немає необхідності: важливо, щоб стан динамічної системи не вийшло з деякої області, визначальною різноманіття допустимих значень вектора стану. Природно, кожному заданому закону управління відповідає закон зміни координат вектора стану, тобто траєкторія руху керованого об'єкта у фазовому просторі. Найчастіше процес управління здійснюється з обмеженими ресурсами, тобто закон управління не може бути довільним, а повинен вибиратися з деякої безлічі.
В роботі розглянута задача про м'який примісячення космічного корабля. Як правило, режим роботи двигуна наступний: якщо він включений, то тяга постійна і одно, якщо вимкнений - тяга дорівнює нулю.
диференційний рівняння управління дискретний
Список літератури
1. Афанасьєв В.М. Математична теорія конструювання систем управління.- М.: Вища школа, 1989. - 447 с.
. Галамекс В.Ю. Оптимальна механіка - Санкт-Петербург.:, 2008. - 60...
