локальний мінімум.
Тепер нехай додамо певні обмеження, представимо функціями g k (x)=0 при k=1, m . Такі умови називають рівняннями зв'язку.
У даному випадку будемо говорити про умовне екстремумі функції: точка буде точкою мінімуму (максимуму) для f (x) , якщо для будь-якого x такого, що | x - x 0 | << / i> ? слід f (x)? f (x 0 ) (або f (x)? f (x 0 ) ).
Для знаходження рішень скористаємося методом множників Лагранжа:
.
Ця функція називається функцією Лагранжа. Відшукання точок умовного екстремуму функції f (x) зводиться до пошуку звичайного локального екстремуму функції Лагранжа.
Описавши необхідний математичний апарат, почнемо безпосередньо застосовувати його в нашій задачі.
1.5 Оптимізація лінійних функцій (лінійне програмування)
Початок лінійному програмування заклав у 30-х роках минулого століття радянський математик і економіст Л.В. Канторович.
У 1938 році в порядку наукової консультації він приступив до вивчення чисто практичної задачі по складанню найкращого плану завантаження лущильних верстатів (фанерний трест). Це завдання не піддавалася звичайним методам. Через рік Канторович опублікував роботу «математичні методи організації і планування виробництва», в якій сформулював новий клас екстремальних задач з обмеженнями і розробив ефективний метод їх вирішення, таким чином було закладено основи лінійного програмування. Вивчення подібних завдань призвело до створення нової наукової дисципліни лінійного програмування і відкрило новий етап у розвитку економіко-математичних методів.
Загальна задача лінійного програмування полягає в знаходженні мінімуму або максимуму цільової функції f (x) . Тобто розглядається оптимізація
Лінійною функції:
. (1)
Зрозуміло, зважаючи на її монотонності немає сенсу розглядати задачі її мінімізації або максимізації без будь-яких обмежень. Притому в житті дійсно спостерігаються обмеження, і було б просто безрозсудно не врахувати цей факт в дослідженні завдання. Задача знаходження максимуму або мінімуму цільової функції f (x) при деяких заданих умовах g j (x) називається основним завданням лінійного програмування. Умови можуть бути як нерівностями:
, (2)
Так і равенствами:
. (2 *)
У разі, якщо умови g j (x) є равенствами, то говорять про те, що задача лінійного програмування має канонічний вигляд.
