оказує, що вже при числі вимірювань вибір похибки, дає величину надійності a, рівну 0,68. Іншими словами, якщо взяти інтервал надійності, то можна стверджувати, що в 68 випадках з 100 справжня величина а потрапить у зазначений інтервал, а в 32 випадках з 100 - не потрапить в цей інтервал.
У випадку, коли, то a виходить рівної 0,95. Якщо, a=0,997, тобто за межі довірчого інтервалу вийде всього лише близько 3 вимірювань з 1000.
1.6 Розподіл Стьюдента
Формула (3), за якою оцінюється середньоквадратичне відхилення s, є справедливою лише при. Число вимірювань в реальних дослідах не може бути нескінченно великим, тому використовувати середньоквадратичне відхилення для обмеженого числа вимірів можна.
Щоб отримати оцінку довірчого інтервалу для величини а у випадку малих n, в теорії похибок замість відносини, вводять величину
(5)
Ця величина (коефіцієнт Стьюдента) є функцією числа вимірів n і величини a - довірчої ймовірності, яка нам задається або ж ми її вибираємо самі.
Виявляється, що випадкова величина при малих n розподілено не по нормальному закону (1), а за законом, відкритому Стьюдента.
Вигляд цього закону суттєво залежить від вибору n.
Щільність ймовірності розподілу P (t), відповідна законом Стьюдента, має вигляд:
, (6)
де - гамма-функції
На рис.6 наведені криві розподілу Стьюдента для різних значень n.
Рис. 6. Криві розподілу Стьюдента для різних n : 1 - n =?; 2 - n =10; 3 - n =5; 4 - n =2
При розподіл Стьюдента переходить в розподіл Гауса. Розподіл Стьюдента дозволяє оцінити величину похибки результату DX при заданій довірчій ймовірності a, або, навпаки, при заданому DX знайти величину a. Дійсно, якщо вибрати на осі t (n, a) деяке значення t * (рис.6), то ймовірність a визначається заштрихованої площею, причому величина a буде залежати не тільки від t, а й від n. Значення коефіцієнта Стьюдента t для різних значень n і a, розраховані відповідно до закону Стьюдента, наведені в таблиці 2.
Ставлячи надійність a, рівну певній величині, при даному значенні n, по табл.2 можна визначити коефіцієнт t. Тоді, визначивши попередньо за формулою (3), можна оцінити абсолютну похибку результату (довірчий інтервал) DХ за формулою:
(7)
Таблиця 2
a n 0,20,40,60,80,90,950,9920,330,731,383,16,3112,763,730,290,621,061,92,924,309,5240,280,580,981,62,353,185,8450,270,570,941,52,132,784,6060,270,560,921,52,022,574,0370,270,550,901,41,942,453,1780,260,550,901,41,892,363,5090,260,540,901,41,862,313,36100,260,540,861,41,832,263,25150,260,540,871,31,762,142,98200,260,530,851,31,732,092,86300,260,530,851,31,702,052,76400,260,530,851,31,692,022,71600,250,530,851,31,672,002,66?0,250,520,841,31,651,952,59
Істинне значення вимірюваної величини а буде перебувати в межах інтервалу () з імовірністю a, т.е.
(8)
Об'єктивним критерієм якості проведених вимірювань є відносна похибка, обумовлена ??відношенням абсолютної похибки до середнього значення вимірюваної величини:
(9)
1.7 Виявлення промахів
Раніше вже говорилося, що якщо взяти довірчий інтервал, то тільки в 3 випадках з 1000 вимірів можна очікувати вихід вимірювань із зазначеного довірчого інтервалу. Якщо не ставиться спеціальна завдання, де точність відіграє основну роль, то можна вважати дані, що виходять за довірчий інтервал, промахами і їх при чистової обробки не враховувати. У практичних розрахунках, при обмеженому числі вимірювань, для оцінки промахів передбачається, що.
1.8 Вибір числа необхідних вимірювань та облік похибки вимірювального приладу
Іноді умови роботи вимагають отримання максимальної точності з використанням певного вимірювального пристрою, що має ціну поділки D С.
Вважається, що експериментатор достовірно встановлює значення показань приладу з точністю (тут d - похибка вимірювального приладу). Якщо задатися довірчою ймовірністю a=0,68, то можна скласти рівність для визначення числа необхідних вимірювань n:. Підставляючи з (3), отримуємо:
Тоді
(10)
Ясно, що в результаті вимірювань не можна зробити помилку менше, ніж та, яка визначається похибкою вимірювального приладу. Тому в остаточному результаті в якості абсолютної похибки приймають випадкову похибку тільки тоді, коли вона істотно перевищує приладову. У випадку, коли ці вимоги не виконуються і випадкова похибка виявляється порівнянної з приладової похибкою d, межі довірчого інтервалу визначаються за формулою:
