ілу виміряних значень
Отже, ймовірність того, що окреме значення вимірюваної величини виявиться в інтервалі від X1 до X2, дорівнює і представлена ??на рис. 3 площею фігури, заштрихованої горизонтальними лініями.
Як показує досвід, у великих сукупностях рівноправних об'єктів, які називаються статистичними ансамблями, існують властиві їм імовірнісні розподілу (розподіл Максвелла для молекул ідеального газу, розподіл Фермі для електронів в металі, розподіл Пуассона для розпаду радіоактивних атомів, розподіл Бозе - Ейнштейна для теплового випромінювання, розподіл Гаусса в разі великого числа вимірів). Кожне з цих розподілів математично описується своєю функцією щільності ймовірності розподілу P (X), що має конкретний математичний вигляд залежно від характеру випадкової величини.
.4 Розподіл Гауса і його основні характеристики
У разі великого числа вимірювань (), випадковий розкид значень вимірюваної величини підкоряється закону, відкритому Гауссом.
Рис. 4. Гаусове розподіл
Функція P (X) симетрична щодо а, досягає максимуму при Х=а (рис.4).
Крім параметра а функція P (X) задається ще параметром s, який називається стандартним відхиленням.
Величина D=s2 називається дисперсією розподілу і має сенс середнього значення квадрата відхилення Х від істинного значення а, тобто , Де - середній квадрат відхилення вимірюваної величини від істинного значення.
Р (Х) швидко прагне до нуля, коли Х стає великим в порівнянні з s.
Функція нормального розподілу має вигляд:
(1)
З рис. 5 видно, що основна частина результатів вимірювань групується біля центрального значення а - істинного значення вимірюваної величини.
Рис. 5. Зміна форми кривої при вимірюваннях однієї і тієї ж величини методами різної точності: 1 - s 1; 2 - s 2; 3 - s 3; s 3 gt; s 2 gt; < i align="justify"> s 1
Відхилення по обидві сторони від центру розподілу спостерігаються тим рідше, чим більше абсолютна величина таких відхилень.
Якщо змінити метод вимірювання величини а й вимірювати її іншим приладом, наприклад, більш досконалим, більш точним, то розкид результатів вимірювань буде близько центру з колишньою абсцисою а, але розкид результатів істотно зменшиться (рис. 5, крива 1). Якщо ж точність методу вимірювань нижче, ніж для кривої 2, то розкид результатів збільшиться і крива стане більш пологою (рис. 5, крива 3). Трьом кривим на рис. 5 відповідають різні значення стандарту відхилення s, який характеризує розмах (розкид) випадкових відхилень, властивих даному методу вимірювання. При цьому площа під кривими розподілу для різних s одна і та ж. Параметри а і s у розподілі Гаусса, як правило, невідомі і їх потрібно шукати за даними значенням Х 1, Х 2, ... Х n, отриманим з досвіду. У теорії похибок існує метод (максимальної правдоподібності), який дозволяє встановити зв'язок між параметрами розподілу Гаусса а і s і набором результатів вимірювань фізичної величини. Використовуючи цей метод, можна строго математично довести, що найбільш правдоподібною оцінкою істинного значення вимірюваної величини є середнє арифметичне з даних вимірювань, тобто
(2)
а найкращою оцінкою другого параметра s є середня квадратична похибка середнього. Розрахунок здійснюється за формулою:
(3)
1.5 Поняття довірчого інтервалу та довірчої ймовірності (надійності)
Середнє арифметичне є наближеною оцінкою істинного значення а вимірюваної величини. Тому, щоб ця оцінка була найбільш повною, треба обов'язково вказати, яка похибка отриманого результату DX. Величину абсолютного відхилення середнього з n вимірювань від істинного значення а називають абсолютною похибкою або довірчим інтервалом середнього. Важливо не те, що в результаті вимірів ми отримуємо, а важливо те, що поряд з повинен бути вказаний інтервал DX, в межах якого десь знаходиться істинне значення а.
Однак ми не може достовірно стверджувати, що справжнє значення а виявиться усередині інтервалу, ми можемо сказати лише наступне: є якась вірогідність того, що а лежить в межах цього інтервалу. Отже, довірчий інтервал DX необхідно вказувати разом з довірчою ймовірністю (надійністю) a попадання істинного значення в межі цього інтервалу. Без вказівки ймовірності a сам по собі інтервал DХ не може бути прийнятий в якості оцінки похибки результату. Якщо відомий імовірнісний закон розподілу Р (Х), то ймовірність попадання істинного значення в межі цього інтервалу може бути розрахована за формулою:
(4)
Розрахунок п...
