рхня - дотичним конусом опуклою поверхні, що обмежує тіло.
В залежності від виду дотичного конуса точки опуклої поверхні підрозділяються на конічні, ребристі і гладкі. Саме точка Х опуклої поверхні називається конічною, якщо дотичний конус V (X) в цій крапці не вироджується. Якщо ж дотичний конус V (X) вироджується в двогранний кут або площину, то Х називається ребристою або відповідно гладкою точкою. Негладкі точки на опуклій поверхні являють собою в певному сенсі виняток. Саме, безліч ребристих точок має міру нуль, а безліч конічних точок не більше ніж лічильно.
Найпростішим нетривіальним опуклим тілом є опуклий багатогранник - перетин кінцевого числа напівпросторів. Поверхня опуклого багатогранника складена з опуклих плоских багатокутників і теж називається опуклим многогранником. Багатокутники, з яких складена поверхню багатогранника, називаються гранями багатогранника, їхнього боку - ребрами багатогранника, а вершини - вершинами многогранника.
У теорії опуклих тіл важливу роль відіграє поняття опуклої оболонки. Опукла оболонка безлічі М являє собою перетин всіх напівпросторів, що містять М. Отже, вона є опуклим безліччю і притому найменшим серед всіх опуклих множин, що містять М. Кожен опуклий багатогранник є опукла оболонка своїх вершин (кінцевих і нескінченно віддалених), і тому однозначно ними визначається.
Для послідовності опуклих поверхонь визначається поняття збіжності. Кажуть, що послідовність опуклих поверхонь сходиться до опуклої поверхні F, якщо будь-який відкритий безліч G одночасно перетинає або не перетинає поверхнос?? ь F і всі поверхні при. Будь-яку опуклу поверхню можна представити як межа опуклих багатогранників або регулярних опуклих поверхонь.
Нескінченні сукупності опуклих поверхонь володіють важливою властивістю компактності, яке полягає в тому, що з будь-якій послідовності повних опуклих поверхонь, що не віддаляються в нескінченність, завжди може бути виділена сходящаяся підпослідовність з межею у вигляді опуклої поверхні, може бути , вироджуваної (в двічі покриту плоску область, пряму, полупрямую або відрізок).
Відзначимо вельми уживане властивість збіжності опорних площин сходящейся послідовності опуклих поверхонь. Нехай - послідовність опуклих поверхонь, що сходяться до опуклої поверхні F, - точка на поверхні і - опорна площина в цій точці. Тоді, якщо послідовність точок сходиться до точки Х поверхні F, і послідовність опорних площин сходиться до площини, то ця площина є опорною для поверхні F в точці Х. Звідси, зокрема, випливає, що якщо послідовність точок на опуклої поверхні F сходиться до точки Х цієї поверхні, і опорні площини в точках сходяться до площини, то ця площина буде опорною в точці Х.
. 2 Кривизна
Нехай G - яка-небудь область на поверхні F. Будемо проводити у всіх точках області G всі дотичні (опорні) площини до поверхні F і будемо проводити з центру деякої одиничної сфери S радіуси, спрямовані паралельно зовнішнім нормалям до цих опорним площинах. Безліч точок на сфері S, утворене кінцями проведених таким чином радіусів, називається сферичним зображенням області G. Площа цього сферичного зображення області G буде називатися зовнішньої кривизною цій області (рис.12) [1, стор.40].
При сферичному зображенні опуклої поверхні напрямок обходу сферичного образу майданчика на поверхні збігається з напрямком обходу самої цієї площадки. Отже, кривизна опуклої поверхні завжди позитивне число.
Виявляється, зовнішня кривизна є цілком адитивна функція на опуклої поверхні, визначена для всіх борелевская множин.
Доказ цієї теореми спирається на наступні дві пропозиції:
. Сферичне зображення замкнутого безлічі на опуклої поверхні є замкнутим безліччю.
. Безліч тих точок сферичного зображення опуклої поверхні, у кожної з яких є принаймні два прообразу на поверхні, має площу, рівну нулю.
Для зовнішніх кривизн опуклих поверхонь мають місце такі теореми про збіжність:
. Якщо послідовність опуклих поверхонь сходиться до опуклої поверхні F і послідовність замкнутих множин, що лежать на поверхнях, сходиться до замкнутій безлічі М на F, то, де позначає зовнішню кривизну відповідного безлічі.
. Нехай послідовність опуклих поверхонь сходиться до опуклої поверхні F, і G - відкриті множини на поверхнях і F, а і - замикання цих множин. Тоді, якщо безлічі сходяться до, а безлічі сходяться до FG, і зовнішні кривизни множин сходяться до зовнішньої кривизні, то зовнішні кривизни сходяться до зовнішньої кривизні G.
Якщо Х - конічна точка поверхні F, то сферичне зображення її однією утворює на сфері S цілу область (ри...
