с.13). Якщо L є Непрямолінійність ребро поверхні, то його сферичне зображення також покриває на сфері S цілу область (рис.14).
Внутрішня кривизна визначається як функція множини на поверхні, тобто кожному безлічі М з деякого класу множин ставиться у відповідність число - кривизна безлічі М. Відповідно до термінології, прийнятої в диференціальної геометрії, слід було б говорити про повну (або інтегральної) внутрішньої кривизні, але заради стислості опустимо обидва цих прикметників, що не приведе до непорозумінь, оскільки одним словом кривизна ми не будемо називати нічого іншого.
Трикутником будемо називати фігуру, гомеоморфними колу і обмежену трьома найкоротшими. Самі найкоротші називаються сторонами, а точки, де вони попарно сходяться, - вершинами трикутника [1,35].
Внутрішня кривизна визначається спочатку для основних множин - точок, відкритих найкоротших і відкритих трикутників - таким чином.
Якщо М - точка і - повний кут навколо неї на поверхні, то внутрішня кривизна М дорівнює.
Якщо М - відкрита найкоротша, тобто найкоротша з виключеними кінцями, то.
Якщо М - відкритий трикутник, тобто трикутник з виключеними сторонами і вершинами, то, де - кути трикутника.
Далі внутрішня кривизна визначається для елементарних множин, тобто таких множин, які представляються у вигляді теоретико-множинної суми основних множин, так що.
Для таких множин.
Доводиться, що обумовлена ??таким чином внутрішня кривизна елементарних множин не залежить від способу представлення безлічі у вигляді суми основних. Доказ спирається на наступну теорему.
Теорема: Нехай Р - внутрішня частина геодезичного багатокутника з кутами і ейлеровой характеристикою. Тоді кривизна Р дорівнює [11, стор.26].
Очевидно, внутрішня кривизна елементарних множин на опуклої поверхні є адитивною функцією.
Дотепер внутрішня кривизна опуклої поверхні була визначена тільки для елементарних множин. Визначимо її для замкнутих множин як точну нижню грань внутрішніх кривизн елементарних множин, що містять дане замкнутий безліч. Нарешті, для будь-якого борелівської безлічі внутрішню кривизну визначимо як точну верхню грань внутрішніх кривизн містяться в ньому замкнутих множин.
Нагадаємо, що борелевская називаються множини, які виходять з замкнутих і відкритих множин застосуванням не більше ніж лічильної сукупності операцій об'єднання і перетину. Очевидно, об'єднання рахункового безлічі борелевская множин буде борелевская безліччю [2, стор.172].
Те, що визначення внутрішньої кривизни для замкнутих і взагалі борелевская множин не вступає в протиріччя з введеним раніше визначенням внутрішньої кривизни для елементарних множин, гарантується наступній фундаментальної теоремою.
Теорема: Внутрішня кривизна всякого борелівської безлічі на опуклої поверхні дорівнює його зовнішній кривизні, тобто площі сферичного зображення.
. 3 Питома кривизна опуклої поверхні
Кожна область G на опуклої поверхні має певну площу S (G) і кривизну. Ставлення називається питомою кривизною області G. Якщо для всіх областей G на опуклої поверхні питома кривизна обмежена деякою постійною, то така поверхня називається поверхнею обмеженою кривизни.
Властивість поверхні мати обмежену питому кривизну зберігається при перехід до межі. Саме тому, має місце наступна теорема.
Теорема: Якщо послідовність опуклих поверхонь з рівномірно обмеженими питомими кривизнами сходиться до поверхні F, то ця поверхня є поверхнею обмеженою кривизни [11, стор.39].
Доказ засноване на теоремах збіжності площ і кривизн сходящейся послідовності опуклих поверхонь.
Питома кривизна опуклої поверхні в точці Х, тобто межа, коли область G стягується до точці Х, називається гауссовой кривизною поверхні в цій точці. Легко доводиться, що якщо гауссова кривизна існує в кожній точці поверхні, то вона неперервна.
Поверхні обмеженою кривизни мають ряд властивостей регулярних опуклих поверхонь. Зокрема, з кожної точки опуклої поверхні обмеженою кривизни в будь-якому напрямку можна провести найкоротшу на відстань, що залежить тільки від питомої кривизни поверхні.
Існування найкоротшою з даної точки по будь-якому напряму на довжину дозволяє ввести в околиці цієї точки полярні координати. Якщо, крім того, поверхня має певну гауссову кривизну в кожній точці, то метрику поверхні в параметризованим околиці можна задати лінійним елементом, де коефіцієнт G є безперервною двічі дифференцируемой по r фун...
