stify"> Тим самим в залежності від знаку форма або неотрицательна () або непозитивним (). При цьому на поверхні S в точці можна вказати напрямок, таке, що визначають його диференціали і звертають друге квадратичну форму в нуль. Для всіх інших напрямків на поверхні в точці форма має один і той же знак (що співпадає зі знаком) (рис.6).
У цьому випадку точка називається параболічної точкою поверхні S.
).
Така точка називається точкою уплощения поверхні. Розташування точок поверхні, близьких до точки уплощения, щодо дотичної площини поверхні в цій точці може бути надзвичайно різноманітним (рис.7).
В залежності від типу точок виділяються наступні види поверхні:
· якщо всі крапки поверхні еліптичні, то поверхня є опуклою;
· якщо всі крапки поверхні гіперболічні, то поверхня є седловой.
2. Опуклі тіла і поверхні
. 1 Основні поняття
Безліч М в тривимірному евклідовому просторі називається опуклим, якщо воно разом з будь-якими двома його точками X і Y містить з'єднує їх прямолінійний відрізок (рис.8). Замкнутий плоске опукле безліч з внутрішніми точками називається опуклою областю.
Зв'язкова частина кордону опуклої області називається опуклою кривою. Кордон кінцевої опуклої області називається замкнутої опуклою кривою. Замкнута опукла крива гомеоморфна окружності. Пряма g, через точку Х кордону опуклої області G, називається опорною, якщо вся область розташовується в одній з півплощини, що визначаються цією прямою. Через кожну граничну точку опуклої області проходить принаймні одна опорна пряма.
Якщо опукла крива є кордоном опуклої області G або частиною її кордону, то опорна пряма в кожній точці кривої до області G називається також опорної прямої кривої.
Точки опуклою кривою підрозділяються на гладкі і кутові. Саме, точка Х опуклою кривою називається гладкою, якщо через цю точку проходить єдина опорна пряма. В іншому випадку точка Х називається кутовий точкою. У кутовій точці опорні прямі заповнюють певний вертикальний кут з вершиною в цій точці, причому сторони цього кута теж є опорними прямими (рис. 10).
Рис.10
Всяка опукла крива є спрямляются, тобто має певну довжину. Якщо замкнута крива охоплює опуклу криву, то довжина не перевершує довжини.
опуклі тілом називається замкнутий опукле безліч в просторі, що має внутрішні точки. Для того, щоб замкнутий опукле безліч було опуклим тілом, необхідно і достатньо, щоб не існувало площині, що містить цю множину. Перетин (загальна частина) будь-якої сукупності опуклих тіл, якщо воно містить внутрішні точки, теж є опуклим тілом.
Область (зв'язне відкрите безліч) на кордоні опуклого тіла називається опуклою поверхнею. Зв'язкова компонента кордону опуклого тіла називається повною опуклою поверхнею. Якщо виключити дві тривіальних випадку, коли опукле тіло є всі простір або область між двома паралельними площинами, то повну опуклу поверхню можна визначити просто як кордон опуклого тіла. Кордон кінцевого опуклого тіла гомеоморфна сфері і називається замкнутої опуклою поверхнею. Всяка повна опукла поверхня гомеоморфна небудь площині, або сфері, або циліндру. В останньому випадку поверхня сама є циліндром.
Подібно до того як у випадку опуклих плоских областей, для опуклих тіл вводиться поняття опорної площини. Саме, площину, через граничну точку Х тіла К, називається опорною в цій точці Х, якщо всі точки тіла розташовані по одну сторону від площини, тобто в одному з визначених нею напівпросторів. Через кожну граничну точку опуклого тіла проходить принаймні одна опорна площина. Одиничний вектор, перпендикулярний опорної площини і спрямований в півпростір, що не містить точок тіла, називається зовнішньої нормаллю до цієї опорної площини.
Опукле тіло V, складене з променів, що виходять з точки S, називається опуклим конусом; при цьому виключається той випадок, коли тіло V збігається з усім простором. Обумовлений таким чином поняття опуклого конуса містить у собі як окремий випадок двогранний кут і півпростір. Поверхня опуклого конуса зазвичай також називають опуклим конусом. У зазначених двох приватних випадках говорять про виродження конуса як поверхні в двогранний кут або площину.
З кожною точкою S кордону опуклого тіла До природним чином пов'язується деякий конус V (S), утворений променями, що виходять із точки S і перетинають тіло До принаймні в одній точці, відмінній від S (рис. 11).
Цей конус називається дотичним конусом в точці S, а його пове...
