ign="justify"> Принцип максимуму застосовують для вирішення завдань оптимізації процесів, що описуються системами диференціальних рівнянь. Перевагою математичного апарату принципу максимуму є те, що рішення може визначатися у вигляді розривних функцій; це властиво багатьом завданням оптимізації, наприклад задачам оптимального управління об'єктами, описуваними лінійними диференціальними рівняннями.
Знаходження оптимального рішення при використанні принципу максимуму зводиться до задачі інтегрування системи диференціальних рівнянь процесу і пов'язаною системи для допоміжних функцій при граничних умовах, заданих на обох кінцях інтервалу інтегрування, тобто до вирішення крайової задачі. На область зміни змінних можуть бути накладені обмеження. Систему диференціальних рівнянь інтегрують, застосовуючи звичайні програми на цифрових обчислювальних машинах.
Принцип максимуму для процесів, що описуються диференціальними рівняннями, при деяких припущеннях є достатньою умовою оптимальності. Тому додаткової перевірки на оптимум одержуваних рішень звичайно не потрібно.
Для дискретних процесів принцип максимуму в тій же формулюванні, що і для безперервних, взагалі кажучи, несправедливий. Однак умови оптимальності, одержувані при його застосуванні для багатостадійних процесів, дозволяють знайти досить зручні алгоритми оптимізації.
Лінійне програмування є математичний апарат, розроблений для вирішення оптимальних задач з лінійними виразами для критерію оптимальності і лінійними обмеженнями на область зміни змінних. Такі завдання зазвичай зустрічаються при вирішенні питань оптимального планування виробництва з обмеженою кількістю ресурсів, при визначенні оптимального плану перевезень (транспортні завдання) і т.д.
Для вирішення великого кола завдань лінійного програмування є практично універсальний алгоритм - симплексний метод, що дозволяє за кінцеве число ітерацій знаходити оптимальне рішення переважної більшості завдань. Тип використовуваних обмежень (рівності або нерівності) не позначається на можливості застосування зазначеного алгоритму. Додаткової перевірки на оптимальність для одержуваних рішень не потрібно. Як правило, практичні завдання лінійного програмування відрізняються досить значним числом незалежних змінних. Тому для їх вирішення зазвичай використовують обчислювальні машини, необхідна потужність яких визначається розмірністю розв'язуваної задачі.
Методи нелінійного програмування застосовують для вирішення оптимальних задач з нелінійними функціями мети. На незалежні змінні можуть бути накладені обмеження також у вигляді нелінійних співвідношень, що мають вигляд рівності або нерівностей. По суті методи нелінійного програмування використовують, якщо жоден з перерахованих вище методів не дозволяє скільки-небудь просунутися у вирішенні оптимальної завдання. Тому зазначені методи іноді називають також прямими методами вирішення оптимальних завдань.
Для отримання чисельних результатів важливе місце відводиться нелінійного програмування і в рішенні оптимальних завдань такими методами, як динамічне програмування, принцип максимуму і т.п. на певних етапах їх застосування.
Назвою методи нелінійного програмування об'єднується велика група чисельних методів, багато з яких пристосовані для вирішення оптимальних задач відповідного класу. Вибір того чи іншого методу обумовлений складністю обчислення критерію оптимальності і складністю обмежуючих умов, необхідною точністю рішення, потужністю наявної обчислювальної машини і т.д. Ряд методів нелінійного програмування практично постійно використовується в поєднанні з іншими методами оптимізації, як, наприклад, метод сканування в динамічному програмуванні. Крім того, ці методи служать основою побудови систем автоматичної оптимізації - оптимізаторів, безпосередньо застосовуються для управління виробничими процесами.
Геометричне програмування є метод вирішення одного спеціального класу задач нелінійного програмування, в яких критерій оптимальності і обмеження задаються у вигляді позіномов - виразів, що представляють собою суму творів статечних функцій від незалежних змінних. З подібними завданнями іноді доводиться стикатися в проектуванні. Крім того, деякі задачі нелінійного програмування іноді можна звести до зазначеного подання, використовуючи Апроксимаційні уявлення для цільових функцій і обмежень.
Специфічною особливістю методів вирішення оптимальних задач (за винятком методів нелінійного програмування) є те, що до деякого етапу оптимальну задачу вирішують аналітично, т. е. знаходять певні аналітичні вирази, наприклад, системи кінцевих або диференціальних рівнянь, звідки вже відшукують оптимальне рішення. На відміну від зазначених методів при використанні методів нелінійного програмування, які, як вж...
