і використовується при вирішенні неоднорідних лінійних рівнянь і нерівностей.
Зворотні тригонометричні функції
Визначення
До цих пір ми вирішували завдання визначення тригонометричних функцій заданих кутів. А що якщо стоїть зворотне завдання: знаючи яку-небудь тригонометричну функцію визначити відповідний їй кут. br/>
Арксинус
Розглянемо вираз, де - відоме дійсне число. За визначенням синуса це є ордината точки перетину променя, що утворює кут з віссю абсцис і тригонометричної окружності. Таким чином, для вирішення рівняння треба знайти точки перетину прямої і тригонометричної окружності. br/>В
Очевидно, що при пряма і коло не мають спільних точок, а значить і рівняння не має рішень. Тобто не можна знайти кут, синус якого був би за модулем більше 1. p> При пряма і коло мають точки перетину, наприклад, і (див. рис.). Таким чином, заданий синус матимуть, і всі кути, що відрізняються від них на цілу кількість повних обертів, тобто ,, - Нескінченна безліч кутів. Як вибрати один кут серед цього нескінченного безлічі? p> Щоб однозначно визначити кут, відповідний числу, доводиться вимагати виконання додаткової умови: цей кут повинен належати відрізку. Такий кут називають арксинуса числа. p> арксинуса дійсного числа називається дійсне число, синус якого дорівнює. Таке число позначають. br/>
арккосинуса
Розглянемо тепер рівняння виду. Для його вирішення необхідно знайти на тригонометричної окружності всі точки, що мають абсциссу, тобто точки перетину з прямою. Як і в попередньому випадку при аналізованих рівняння не має рішень. А якщо, маються точки перетину прямої та кола, відповідні нескінченного безлічі кутів,,. br/>В
Щоб однозначно визначити кут, відповідний даному косинусу, вводять додаткову умову: цей кут повинен належати відрізку; такий кут називають арккосинуса числа.
арккосинуса дійсного числа називається дійсне число, косинус якого дорівнює. Таке число позначають. br/>
Арктангенс і арккотангенс
Розглянемо вираз. Для його вирішення треба знайти на колі всі точки перетину з прямою, кутовий коефіцієнт якої дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до позитивного напрямку осі абсцис. Така пряма при всіх дійсних значеннях перетинає тригонометричну окружність в двох точках. Ці точки симетричні відносно початку координат і відповідають кутам,,. p> Для однозначного визначення кута з заданим тангенсом його вибирають з інтервалу.
В
Арктангенс довільного дійсного числа називається дійсне число, тангенс якого дорівнює. Таке число позначають. p> Для визначення арккотангенса кута використовуються аналогічні міркування, з тією лише різницею, що розглядається перетин кола з прямою і кут вибирається з інтервалу.
арккотангенса довільного дійсного числа називається дійсне число, котангенс якого дорівнює. Таке число позначають. p align="justify"> Властивості зворотних тригонометричних функцій.
Область визначення та область значення.
Парність непарність.
Перетворення зворотних тригонометричних функцій
Для перетворення виразів, що містять зворотні тригонометричні функції, часто використовуються властивості, наступні з визначення цих функцій:
Для будь-якого дійсного числа виконується
,,
,,
і навпаки:
,,
,.
Аналогічно для будь-якого дійсного числа виконується
,,
,,
і навпаки:
,,
,.
Графіки тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій
Графіки тригонометричних функцій
Почнемо з побудови графіка функції на відрізку. Для цього скористаємося визначенням синуса на тригонометричної окружності. Розділимо тригонометричну окружність на (в даному випадку 16) рівних частин і розмістимо поруч систему координат, де відрізок на осі також розділений на рівних частин. Проводячи прямі лінії паралельно осі через точки поділу кола, ми на перетині цих прямих з перпендикулярами, відновленими з відповідних точок поділу на осі, отримуємо точки, координати яких за визначенням дорівнюють синусам відповідних кутів. Проводячи через ці точки плавну криву, отримаємо графік функції для. Для отримання графіка функції на всій числовій прямій використовують періодичність синуса:,. br/>В
Для отримання графіка функції скористаємося формулою приведення. Таким чином, графік функції виходить з графіка функції шляхом паралельного перенесення вліво на відрізок довжиною. <В
Використання графіків тригонометричних функцій дає ще один простий спосіб отримання формул приведення. Розглянемо кілька прикладів. br/>В
Спростимо виразу. На осі п...
