речових та справедливі такі формули:
,
.
Доказ інших формул засноване на формулах приведення і парності/непарності тригонометричних функцій.
В В В
Що і потрібно було довести.
Теорема 4. Для будь-яких речових та, таких, що
. ,,,, Справедливі наступні формули
,
2. ,,,, Справедливі наступні формули
.
Доказ. За визначенням тангенса
В
Останнє перетворення отримано діленням чисельника і знаменника цього дробу на.
Аналогічно для котангенса (чисельник і знаменник у цьому випадку діляться на):
В
Що і потрібно було довести.
Слід звернути увагу на той факт, що праві і ліві частини останніх рівностей мають різні області допустимих значень. Тому застосування цих формул без обмежень на можливі значення кутів може призвести до невірних результатів. br/>
Формули подвійного і половинного кута
Формули подвійного кута дозволяють виразити тригонометричні функції довільного кута через функції кута в два рази менше вихідного. Ці формули є наслідками формул суми двох кутів, якщо покласти в них кути рівними один одному. p align="center"> кут тотожність тригонометричний функція
В В
Останню формулу можна перетворити за допомогою основної тригонометричного тотожності:
В
або
В
Таким чином, для косинуса подвійного кута існує три формули:
В В
Слід зазначити, що дана формула справедлива тільки при
і,
В
Остання формула справедлива при,.
Аналогічно функціям подвійного кута можуть бути отримані функції потрійного кута. Тут дані формули наводяться без доведення:
,
,
,
.
Формули половинного кута є наслідками формул подвійного кута і дозволяють виразити тригонометричні функції деякого кута через функції кута в два рази більше початкового.
Зробимо наступні перетворення:
,
і висловимо через
В
Аналогічні перетворення зробимо для
,
.
Останні дві формули носять назви формул зниження ступеня.
Виведемо формулу для:
.
Аналогічно
.
Універсальна тригонометрическая підстановка
Ця група формул дозволяє виражати значення всіх тригонометричних функцій через тангенс половинного кута. Дані формули часто використовуються при вирішенні рівнянь і творі перетворень. Для того, щоб виразити через скористаємося раніше виведеної формулою:
,
,
,
при,.
Далі використовуючи формулу і щойно виведене співвідношення для косинуса отримаємо залежність між і:
В
остання формула також має сенс при,.
Формули для тангенса і котангенс виходять за допомогою формул подвійного кута:
при,,,
при,.
Формули добутку тригонометричних функцій
Дана група формул є наслідком формул суми і різниці двох кутів.
Теорема 5. Для будь-яких речових та справедливі наступні співвідношення:
В
,
.
Доказ. Запишемо формули косинуса і синуса суми і різниці для кутів і:
В В В В
Зробимо наступні перетворення:
((1) - (2))/2:
В
((1) + (2))/2:
В
((3) + (4))/2:
В
Що і потрібно було довести.
Формули суми і різниці тригонометричних функцій
Ці формули також є наслідком формул суми і різниці двох кутів.
Для отримання формул суми і різниці функцій зауважимо, що будь-які кути і можна представити таким чином:
,
В
Знайдемо суму синусів двох довільних кутів і
В
Знайдемо різницю синусів двох довільних кутів і:
В
Знайдемо суму косинусів двох довільних кутів і:
В
Знайдемо різницю косинусів двох довільних кутів і
В
Знайдемо суму і різницю тангенсів двох кутів і, таких що
,,:
В
Знайдемо суму і різницю котангенсів двох кутів і, таких що,,:
В
Формула додаткової (допоміжного) аргументу
Розглянемо вираз виду
В
в якому числа і не рівні нулю одночасно. Домножимо і поділимо кожне з доданків на і винесемо загальний множник за дужки:
В
Неважко перевірити, що
,
а значить по Теоремі 2 існує такий речовий кут, що
і.
Таким чином, використовуючи формулу синуса суми, отримуємо
В
Формула
В
де такий кут, що й, носить назву формули допоміжного аргументу ...
