дносно головних осей U і V повинен бути рівний нулю:
Запишемо рівняння головних центральних осей інерції перерізу:
спірограф гра інерція рівняння
Головні центральні осі:
Виконаємо додаткову перевірку. Згідно з відомостями отриманим з курсу лекцій з предмету Механіка матеріалів сума моментів інерції відносно будь-якої пари взаємно перпендикулярних центральних осей повинна бути постійною:
Завдання 4
Д - 27 Інтегрування диференціального рівняння вільних коливань механічної системи за допомогою ЕОМ
. Скласти диференціальне рівняння, що описує рух системи (вільні коливання системи)
. Чисельним інтегруванням на ЕОМ знайти рішення диференціального рівняння при заданих початкових умовах.
. За результатами чисельного інтегрування визначити циклічну частоту K і період T коливань.
Рішення
Дано
m1=14 кг - маса першого тіла
m2=5 кг - маса другого тіла
c1=14 Н/см - коефіцієнт жорсткості для лінійної пружини
f=0.15 - деформація пружини в стані спокою
R=0.3 - радіус 2-го елемента
q0=0.2 - початкове значення узагальненої координати
Схема механічної системи:
Для повчання диференціального рівняння руху системи скористаємося рівнянням Лагранжа II роду для консервативних систем:
(1)
де Т і П - кінетична і потенційна енергії системи. В якості узагальненої координати q приймемо кут повороту диска 2 (q =).
Кінетична енергія системи
Враховуючи рівняння зв'язків
(2)
і вирази для моменту інерції однорідного диска 2 щодо центральної осі, отримуємо вираз для кінетичної енергії:
(3)
де
Потенційна енергія системи визначається як робота сил пружності на переміщенні з відхиленого положення в нульове (положення спокою):
(4)
Залежність P (x) визначається виразом
(5)
де. Цей вираз можна представити більш компактною записом, якщо використовувати формулу, яка приймає значення +1 при x gt; 0 і - 1 при x lt; 0. Домовимося, що значення при х=0 дорівнює нулю.
Залежність P (x) приймає вигляд
(6)
Підставляючи (6) в (4), отримуємо для П (х):
(7)
Висловимо потенційну енергію, як функцію від q, враховуючи, що
(8)
У рівнянні Лагранжа II роду з?? едует підставити похідну від П по q.
Функція (8) має похідну всюди, крім точки q=0,
(9)
При q=0 функція F (q) повинна бути прийнята рівною нулю, бо в цьому положенні сили, що діють на тіла системи, взаємно врівноважені. Підставляючи (3) і (9) в рівняння (1), одержимо нелінійне диференціальне рівняння руху системи:
(10)
Обчислимо коефіцієнти виразу (9):
Функція F (q) має вигляд:
(11)
Диференціальне рівняння руху розглянутої системи
(12)
Для визначення руху системи слід чисельно проинтегрировать на ЕОМ рівняння (12) при початкових умовах:
при (13)
Результати обчислень наведені в таблиці. На малюнку за результатами обчислень представлена ??залежність? =? (T). Досить побудувати лише ту частину графіка, де? змінюється від максимального значення до нуля. Продовження можна побудувати з міркувань симетрії.
За графіком легко визначити чверть коливань 3T: у момент значення? звертається в нуль. Так як c, то період коливань складає c, а циклічна частота.
Висновок
У ході роботи були зроблені наступні висновки:
автор дізнався, що таке MathCAD
навчився вирішувати завдання в MathCAD
навчився працювати в середовищі Delphi
Самооцінка: автор вважає, що він досяг поставленої мети і зрозуміло виклав всю тему.
Значимість моєї роботи полягає в тому що, я вирішив цю проблему, і тепер можу без проблем працювати в MathCAD, Delphi. Так само я дізнався нове з цієї роботи, і ті учні, які зацікавлені в цій темі теж дізналися нового. Звичайно, виникла трудність з пошуком літератури, матеріалу для даної роботи існує не так багато.
Завдання цієї роботи були виріш...
