і.
Вважаючи вантаж матеріальною точкою і знаючи час t1 руху вантажу від точки А до точки В, знайти швидкість вантажу на ділянці НД через t2=2 сек після виходу з точки В. Тертям вантажу про трубу знехтувати.
Рис. 15
Дано: m=3 кг, Q=9 Н v0=22 м/с, t1=3 с, Fx=2t2-1.
Визначити: V2 -швидкість руху вантажу на ділянці НД через t2=2 с після виходу з точки В.
Рішення.
Розглянемо рух вантажу на ділянці АВ, вважаючи вантаж матеріальною точкою. Зображуємо вантаж (у довільному положенні) і діють на нього сили і. Проводимо вісь АZ і складаємо диференціальне рівняння руху вантажу в проекції на цю вісь:
(1)
або (2)
Розділимо в рівнянні (2) змінні
(3)
а потім, беремо від обох частин інтеграли
Отримаємо
(4)
Постійну С1 знайдемо за початковими умовами:
при, тоді С1=22м/с.
У результаті знаходимо
(5)
Вважаючи в рівності (5) t=3 с, визначимо швидкість вантажу в точці В:
Тепер розглянемо рух вантажу на ділянці НД; знайдена швидкість буде для руху на цій ділянці початковою швидкістю (=).
Зображуємо вантаж (у довільному положенні) і діють на нього сили
Проведемо з точки В вісь ВХ і складемо диференціальне рівняння руху вантажу в проекції на цю вісь:
(6)
Так як ,, то рівняння (6) набуде вигляду
(7)
Розділимо обидві частини рівності (7) на m=3 кг
і вважаючи g @ 10 м/с2,
(8)
Множачи обидві частини рівності (8) на dt
(9)
і інтегруючи, знайдемо
(10)
(11)
Постійну С2 знайдемо за початковими умовами.
Будемо тепер відраховувати час від моменту, коли вантаж знаходиться в точці В, вважаючи в цей момент t=0.
Тоді при
,
Підставляючи ці величини в (11), отримаємо
Тоді
Підставляючи час руху на ділянці НД t2=2c знаходимо
Контрольні питання
1. Як формулюється перший закон динаміки?
Будь-яка ізольована матеріальна точка, тобто така точка, яка не схильна до впливу інших матеріальних тіл, може вчиняти по відношенню до якої-небудь нерухомій системі відліку тільки рівномірний прямолінійний рух (швидкість в даному випадку величина постійна) або перебувати в стані спокою (швидкість дорівнює нулю).
2. Як формулюється другий закон динаміки?
Другий закон динаміки (Ньютона) стверджує, що причина прискорення тіла? взаємодія тіл, характеристикою якого є сила. Цей закон дає основне рівняння динаміки, дозволяю?? її, в принципі, знаходити закон руху тіла, якщо відомі сили, що діють на нього. Цей закон може бути сформульовано таким чином (рис. 16):
Рис. 16
прискорення точкового тіла (матеріальної точки) прямо пропорційно сумі сил, що діють на тіло, і обернено пропорційно масі тіла:
тут F? результуюча сила, тобто векторна сума всіх сил, що діють на тіло.
3. Як формулюється третій закон динаміки?
Третій закон динаміки (Ньютона) підкреслює, що причиною прискорення є взаємна дія тіл один на одного. Тому сили, що діють на взаємодіючі тіла, є характеристиками одного і того ж взаємодії. З цієї точки зору немає нічого дивного в третьому законі Ньютона (рис. 17):
Рис. 17
Точкові тіла (матеріальні точки) взаємодіють з силами, рівними за величиною і протилежними за напрямком і спрямованими вздовж прямої, що з'єднує ці тіла:
де F12? сила, що діє на перше тіло з боку других, a F21? сила, що діє на друге тіло з боку першого. Очевидно, що ці сили мають однакову природу. Цей закон також є узагальненням численних експериментальних фактів.
4. Як записуються диференціальні рівняння руху точки в декартовій системі координат?
З другого закону Ньютона динаміки матеріальної точки
виходять дві найбільш поширені форми диференціальних рівнянь руху:
диференціальні рівняння руху точки в координатній формі
або
Де - проекції прискорення на осі декартових координат, - проекції сили на ті ж осі декартових координат;
диференціальні рівняння руху точки в природній формі
Де - проекції прискорення на природні осі...
