berg), 1878, про те, що кінцева абелева група є прямою сумою примарних циклічних груп, та її узагальнення (теорема про будову конечнопорожденних абелевих груп) знайшли широке застосування в математиці і її додатках. Найбільш вивчені: повні (подільні) абелеві групи; вільні абелеві групи і абелеві групи без кручення; періодичні абелеві групи (зокрема, їх сервантние і примарні підгрупи). Розвинені гомологические методи теорії розширень абелевих груп дозволяють у ряді випадків зводити розгляд загального випадку до цих класів груп. Суттєву роль відіграють функтори Hom і Г„ на категорії абелевих груп, вивчення кілець ендоморфізм End (G) і груп автоморфізмів Aut (G) абелевих груп G.
Також добре розвинена теорія нильпотентних і розв'язаних груп, що містять всі абелеві групи, а також численних їх узагальнень: локально нильпотентних груп; локально розв'язаних груп; груп з нормалізаторним умовою; груп з субнормального системами підгруп різного типу.
Сучасна теорія представлень груп і теорія характерів представляє сформовану область, збагачену методами теорії кілець і гомологічної алгебри з потужним арсеналом технічних засобів для вивчення абстрактних груп.
Теорія гомологий груп займає гідне місце в сучасній гомологічної алгебри як найбільш розвинений відділ.
Як ми вже побачили, зараз теорія груп є дуже розгалуженою областю знань. Є багато невирішених завдань і багато перспективних напрямків досліджень. p align="justify"> Зараз, наприклад, багатьма теоретико-групповікамі активно вивчаються похідні структури, пов'язані з групою G, наприклад: група автоморфізмів Aut (G); решітка підгруп L (G); півгрупа ендоморфізм End (G). Досліджуються: радикали груп, радикальні і полуприем класи; формації груп; формальні групи
Триває активне вивчення груп з додатковими структурами, узгодженими з груповою операцією, серед них: топологічні групи і групи Лі; алгебраїчні групи; впорядковані групи.
Одним з найбільш перспективних і цікавих напрямів є вивчення груп із заданими властивостями системи підгруп. Початок таким дослідженням було покладено роботами У. Бернсайда, Р. Дедекинда, Г. Міллера і Г. Морено, О.Ю. Шмідта та ін З'явившись спочатку в області кінцевих груп, цей напрям поширилося потім на нескінченні групи і дало при цьому багато нові підходи до їх вивчення, а також важливі поняття теорії груп. p align="justify"> У цьому напрямі серед найбільш значних об'єктів досліджень були виділені класи локально кінцевих груп, періодичних груп, локально вирішуваних і локально нильпотентних груп, локально ступінчастих груп, класи груп Куроша-Чернікова. У цьому напрямку працювали багато авторів: С.І. Адян, Р. Бер, Б.А. Верфріц, X. Віланд, Дж. Вільсон, Ю.М. Горчаков, В.М. Глушков, Д. Горенштейна, Р.І. Григорчук, Д.І. Зайцев, М.І. Каргополов,...
