зняються на величину, пропорційну. Отже, і довжини відрізняються тільки на величину, пропорційну Запишемо розкладання в ряд Тейлора за ступенями:
(16)
(17)
(18)
Раз відрізняються тільки на величину порядку, значить,
(19)
Перші з цих рівностей, суть очевидні слідства того, що всі три лінії - пряма П, крива I і крива II-проходять через одну точку О, х=х 0.
Другі рівності, вийшли завдяки тому, що в точці Про вказані три лінії торкаються один одного, а кут падіння променя дорівнює куту його віддзеркалення.
Ми знаємо, що рівність нулю похідної означає, що як функції х можуть мати при х=х0 мінімум або максимум. Чи буде це саме мінімум, а не максимум, визначається знаком другої похідної.
Для прямої ми маємо мінімум,. Однак, ми бачимо з останнього рівняння, що звідси не можна зробити висновок для кривих ліній I і II. Зокрема, для лінії II при достатній кривизні її довжина має в точці О, при х=х0, саме максимум, а не мінімум. Завдяки підйому кривої II ліворуч і праворуч від Про шлях, коротше ІОА, шлях ІОА є найдовшим з усіх сусідніх колій з точки І в яку-небудь точку лінії II і звідти в точку А.
Досвід показує, що й у випадку кривої II відображення відбувається в точці О, т. е. в тій точці, де довжина шляху має максимум; очевидно, в цій точці і раніше кут падіння дорівнює куту відбиття.
Користуючись принципом Ферма можна довести теорему Малюса (тобто ортотомная система променів залишається ортотомной після довільного числа віддзеркалень і заломлень.) [5].
Доказ. Система променів називається ортотомной, якщо всі промені цієї системи ортогональні до однієї і тієї ж поверхні.
Нехай всі промені перпендикулярні до поверхні F (рис.12). Проведемо через кожну точку цієї поверхні промінь і відкладемо на ньому відрізок постійної (але довільної) оптичної довжини L.
Геометричним місцем решт таких відрізків буде якась поверхню F laquo ;. Доведемо, що всі промені розглянутої системи перпендикулярні до поверхні F raquo ;, яке б не було значення величини L. Малі відрізки одного з променів АС і С А можуть вважатися прямолінійними. Візьмемо сусідній нескінченно близький промінь і притому такий, що довжини АВ і А У нескінченно малі в порівнянні з АС і С А .
З'єднаємо В з С і С з В прямолінійними відрізками. За принципом Ферма з точністю до нескінченно малих другого або вищого порядків (ВЕВ )=(ВСС В ), а з побудови (ВЕВ )=(АСС А ). Таким чином, (ВСС У )=(АСС А ). Віднімаючи звідси загальну частину (СС ), отримаємо: (АС) + (С А )=(НД) + (С В ). Оскільки за умовою відрізок АС перпендикулярний до АВ, то з точністю до другого порядку малості АС=НД, а отже, (АС)=(НД). Тому з тією ж точністю (С А )=(С В ), або З А =С В laquo ;, звідки випливає, що С A А В '.
З точки зору хвильової теорії теорема Малюса майже самоочевидна, Дійсно, для ортотомной системи променів поверхню F є одна з поверхонь рівний фази (хвильовий фронт). Поширюючись за законами геометричної оптики, вона продовжує залишатися поверхнею рівною фази, а сукупність променів - ортогональної системою. Звичайно, ортогональность може і не дотримуватися. Наприклад, хвилі виду при дотриманні принципу суперпозиції поширюються незалежно один від одного. Кожній з таких хвиль відповідає ортотомная система променів. Однак сукупність променів, які відповідають усім хвилям, ортотомную систему, взагалі кажучи, не утворює.
Приклад застосування принципу Ферма в поясненні деяких фізичних явищ
«Збільшення» тривалості дня. «Подовження» дня на 7-8 хв також пояснюється принципом Ферма [6]. Як відомо, з віддаленням від земної поверхні відбувається зменшення атмосферного тиску згідно барометричному закону
(20)
де - Тиск на земній поверхні, p - тиск на висоті z, k - постійна Больцмана, Т - абсолютна температура, g - прискорення вільного падіння, m - середня маса молекул повітря. Подібним же чином відбувається зменшення показника заломлення повітря в міру віддалення від земної поверхні. Тому сонячні промені на зорі й при заході поширюються не по прямій лінії, а по дорозі з більш крутим нахилом в щільних шарах атмосфери, скорочуючи тим самим свій шлях у цих шарах. Оскільки предмет завжди видно в напрямку прямолінійного продовження променя, що виходить від нього, то при сході ми спостерігаємо Сонце на кілька хвилин раніше, а при заході Сонце залишається видимим протягом декількох хвилин після його заходу, «Подовження» дня за рахунок цих явищ становить 7-8 хв.
Міраж. Влітку температура повітря над поверхнею моря нижче, ніж у більш віддалених від його поверхні точках; іншими словами, температура повітря в міру віддалення від поверхні моря збільшується. Нагрівання повітря призводить до його розширення, а розширен...
