Рівняння лінії на площині
Основні питання лекції: рівняння лінії на площині; різні форми рівняння прямої на площині; кут між прямими; умови паралельності і перпендикулярності прямих; відстань від точки до прямої; криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола, їх рівняння і геометричні властивості; рівняння площини і прямої в просторі.
Рівняння виду називається рівнянням прямої у загальному вигляді.
Якщо виразити в цьому рівнянні, то після заміни і отримаємо рівняння, зване рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом, причому, де - кут між прямий і позитивним напрямом осі абсцис. Якщо ж у загальному рівнянні прямий перенести вільний коефіцієнт в праву сторону і розділити на нього, то одержимо рівняння у відрізках
, де і - точки перетину прямої з осями абсцис і ординат відповідно.
Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
Прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Нехай задані дві прямі і.
Щоб знайти точку перетину прямих (якщо вони перетинаються) необхідно вирішити систему з цими рівняннями. Рішення цієї системи і буде точкою перетину прямих. Знайдемо умови взаємного розташування двох прямих. p> Так як, то кут між цими прямими знаходиться за формулою
.
Звідси можна отримати, що при прямі будуть паралельними, а при - перпендикулярні. Якщо прямі задані в загальному вигляді, то прямі паралельні за умови та перпендикулярні за умови
Відстань від точки до прямої можна знайти за формулою
В
Нормальне рівняння кола:
В
Еліпсом називається геометричне місце точок на площині, сума відстаней від яких до двох заданих точок, званих фокусами, є величина постійна.
Канонічне рівняння еліпса має вигляд:
В
де - велика піввісь, - мала піввісь і. Фокуси перебувають у точках. Вершинами еліпса називаються точки,,,. Ексцентриситетом еліпса називається ставлення
Гіперболою називається геометричне місце точок на площині, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок, званих фокусами, є величина постійна.
Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:
В
де - велика піввісь, - мала піввісь і. Фокуси перебувають у точках. Вершинами гіперболи називаються точки,. Ексцентриситетом гіперболи називається ставлення
Прямі називаються асимптотами гіперболи. Якщо, то гіпербола називається равнобочной. p> З рівняння отримуємо пару пересічних прямих і.
Параболою називається геометричне місце точок на площині, від кожної з яких відстань до даної точки, званої фокусом, дорівнює відстані до даної прямий званої директоркою, є величина постійна.
Канонічне рівняння параболи
.
Пряма називається директоркою, а точка - фокусом.
Поняття функціональної залежності
Основні питання лекції: множини; основні операції над множинами; визначення функції, її область існування, способи завдання; основні елементарні функції, їх властивості та графіки; числові послідовності та їх межі; межа функції в точці і на нескінченності; нескінченно малі та нескінченно великі величини та їх властивості; основні теореми про межі; чудові межі; безперервність функції в точці і на інтервалі; властивості безперервних функцій.
Якщо кожному елементу множини ставиться у відповідність цілком певний елемент множини, то кажуть що на множині задана функція. При цьому називається незалежною змінною або аргументом, а - залежною змінною, а літера позначає закон відповідності.
Безліч називається областю визначення або існування функції, а безліч - областю значень функції.
Існують наступні способи завдання функції
1. Аналітичний спосіб, якщо функція задана формулою виду
2. Табличний спосіб полягає в тому, що функція задається таблицею, що містить значення аргументу і відповідні значення функції
3. Графічний спосіб полягає в зображенні графіка функції - множини точок площини, абсциси яких є значення аргументу, а ординати - відповідні їм значення функції
4. Словесний спосіб, якщо функція описується правилом її складання. p> Основні властивості функції
1. Парність і непарність. Функція називається парною, якщо для всіх значень з області визначення і непарної, якщо. В іншому випадку функція називається функцією загального вигляду.
2. Монотонність. Функція називається зростаючою (спадною) на проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.
3. Обмеженість. Функція називається обмеженою на проміжку, якщо існує таке позитивне число, що для будь-кого. У інакше функція називається необмеженою.
4. Періодичність. Функція називається періодичною з періодом, якщо для будь-яких з області визначення функції.
Класифікація функцій.
1. Зворотний функц...
