й випадкове блукання по вузлах сітки (1). А саме, перебуваючи у внутрішньому вузлі сітки, ця частинка за один перехід з однієї і тієї ж вірогідністю, рівній 1/4, може переміститися в один з чотирьох сусідніх вузлів: або в (крок вліво), або в (крок вправо), або в (крок вниз), або в (крок вгору), причому кожен такий одиничний перехід абсолютно випадковий і не залежить від положення частинки і її минулої історії. Будемо вважати, що блукання частинки закінчується, як тільки ця частинка потрапить на кордон; в цьому сенсі кордон являє собою «поглинаючий екран». Можна довести, що з імовірністю, рівної 1, блукання точки через кінцеве число кроків закінчується на кордоні [14, c.198].
Якщо частка почала своє блукання з фіксованою внутрішньої точки сітки, то кінцева сукупність послідовних положень цієї частинки: де і, називається траєкторією частинки (з кроками) або історією блукання.
Рівномірний випадкове блукання частинки на площині можна організувати за допомогою рівномірно розподіленим послідовності однорозрядних випадкових чисел, що приймають значення. Для цього, наприклад, досить виробляти розіграш, тобто випадкову вибірку з чисел; причому числа 8 і 9 перегравали.
Випадкові числа беруться з готових таблиць або виробляються електронною машиною. Останній спосіб при роботі на лічильної машині переважно, оскільки він дозволяє не завантажувати сильно пам'ять машини [1, c.28].
Нехай в точках кордону Г області G визначена деяка функція. Перенесемо ці значення на кордон сітки. Наприклад, для кожного граничного вузла визначимо найближчу по горизонталі (або вертикалі) точку і покладемо.
Для стислості введемо позначення.
Нехай - ймовірність того, що траєкторія частки, що вийшла з вузла сітки, закінчиться в граничному вузлі. Так як блукання точки неминуче закінчується на кордоні в першій же точці виходу її на кордон, то
, (2)
де підсумовування поширюється на всі точки кордону, причому
(3)
де - межовий вузол.
Складемо суму
, (4)
де точка пробігає всю кордон. Якщо функцію розглядати як випадкову величину, приймаючу значення на кордоні, то сума (4) являє собою математичне очікування (середнє значення) функції на кордоні для траєкторій, що починаються в точці («премія за вихід на кордон» з початкової точки). Частинка, яка почала своє випадкове блукання з внутрішнього вузла, після першого кроку з імовірністю, рівної 1/4, потрапляє в один з чотирьох сусідніх вузлів. Тому випадкові блукання, що починаються в вузлі, в залежності від виду траєкторій розпадаються на чотири категорії нових випадкових блукань [8, c.98]:
За формулою повної ймовірності маємо
(5)
Звідси, множачи обидві частини рівності (5) на граничні значення і підсумовуючи по всіх можливих значеннях і, на підставі формули (4) отримаємо
. (6)
Крім того, в силу формули (3) маємо
, (7)
якщо точка.
Розглянемо тепер задачу Діріхле про відшукання функції, гармонійної області та приймаючої на її кордоні задані безперервні значення. Згідно з методом сіток ця задача зводиться до знаходження значень шуканої функції у внутрішніх вузлах деякої сітки за умови, що значення в граничних вузлах відомі і рівні. Невідомі визначаються із системи лінійних рівнянь
(8)
Порівнюючи формули (8) з формулами (6), (7), ми вбачаємо, що вони збігаються з точністю до позначень. Отже, шукані невідомі можна розглядати як математичні очікування. Величини допускають експериментальне визначення. Розглянемо досить велике число рівномірних випадкових блукань частинки по вузлах сітки, що виходять з фіксованого вузла і закінчуються на кордоні. Нехай відповідні точки виходу частинки на кордон. Замінюючи математичне очікування емпіричним математичним очікуванням, матимемо
. (9)
Формула (9) дає статистичну оцінку величини і може бути застосована для наближеного рішення задачі Діріхле. Метод вирішення завдань, заснований на використанні випадкових величин, отримав загальну назву методу Монте-Карло [10, c.104].
Зауважимо, що за допомогою формули (9) можна безпосередньо знайти наближене значення рішення задачі Діріхле в єдиної фіксованої точці сітки, не знаючи рішення задачі для інших точок сітки. Цією обставиною метод Монте-Карло для задачі Діріхле різко відрізняється від звичайних стандартних способів вирішення цього завдання.
Цікаво відзначити, що ймовірність, в силу формули (4), являє собою аналог функції Гріна для задачі Діріхле в області. Ця величина може бути знайдена експериментально на підставі формули (9), якщо поставити такі граничні умови [14, c.55]:
.
Побудувавши таку функцію Гріна, ми отримуємо можливість, застосовуючи форм...
