Теорема Вінера-Хинчина
Як з'ясувалося в попередньому параграфі, другою умовою стаціонарності випадкового процесу є взаємна некоррелірованні випадкових амплітуд гармонік, на які розкладається процес
Подання автокореляції інтегралом Фур'є-Рімана
Cпектр потужності
Поєднання двох інтегральних формул, (2.70) і (2.72), є змістом теореми Вінераг-Хинчина, яка формулюється наступним чином: «Автокорреляция і спектр потужності стаціонарного випадкового процесу пов'язані між собою парою інтегральних перетворень Фур'є».
1.9 Просторово-часова кореляція і частотно-хвильової спектр потужності стаціонарно-однорідного випадкового поля. Узагальнена теорема Вінера-Хинчина
Прирощення функції через похідну або частотну щільність дисперсії
Інтегральна формула для ПВК стаціонарно-однорідного поля
Два інтегральних співвідношення, (2.86) і (2.87), становлять зміст узагальненої теорії Вінера-Хинчина, яка формулюється наступним чином: «Просторово-часова кореляція і частотно-хвильової спектр потужності стаціонарно-однорідного випадкового поля пов'язані парою кратних інтегральних перетворень Фур'є ».
1.10 Співвідношення між характеристиками стаціонарно-однорідного нуля
Теорема Вінера-Хинчина встановлює співвідношення між двома найбільш повними, найбільш інформативними характеристиками стаціонарно-однорідного випадкового поля: між просторово-часової кореляцією (ПВК) і частотно-хвильовим спектром (ЧВС). Ці характеристики є функціями найбільшого числа змінних.
Крім ПВК і ЧВС в аналізі полів використовуються кореляційні та спектральні характеристики меншого числа змінних. Насамперед це просторова й тимчасова кореляції.
Просторова кореляція (ПК) поля - це середнє по ансамблю реалізацій добуток значень поля, спостережуваних у двох точках простору в один і той же момент часу:
У загальному випадку ПК залежить від часу, але в стаціонарно-однорідному полі вона виявляється залежною тільки від різниці координат. При цьому формула ПК виходить з формули ПВК методом поєднання часових координат. При суміщенні моментів часу їх різниця дорівнює нулю. Вважаючи в формулі ПВК (2.86), одержуємо інтегральне вираження для розрахунку ПК
Аналогічно, шляхом суміщення просторових координат, тобто при, отримуємо з (2.86) інтегральне вираження для тимчасової кореляції (ВК) стаціонарно-однорідного поля
Зауважимо, що одночасним суміщенням тимчасових і просторових координат з формули ПВК отримують формулу дисперсії поля (2.80), тобто має місце рівність
Таким чином, випадкове поле, в тому числі стаціонарно-однорідне, характеризується трьома видами кореляцій і дисперсією. Спектри потужності поля також можуть бути функціями тільки тимчасовою або тільки просторової частот. Вони отримують відповідні назви.
Частотний спектр потужності (НС) стаціонарно-однорідного поля пов'язаний з ЧВС інтегральним співвідношенням
Просторовий спектр виходить з ЧВС згідно рівності
2. Додаткові питання
2.1 Дайте визначення випадкової гармонійної функції
При гармонійному спектральному поданні випадкових функцій як елементарних використовують випадкові гармоніки. Випадкова гармоніка - це функція, ансамбль реалізацій якої являє собою безліч гармонійних функцій однієї і тієї ж частоти, що відрізняються один від одного випадковим чином амплітудою і початковою фазою коливань.
Математична формула, що описує випадкову гармонійну функцію часу, має вигляд, аналогічний формулі (2.1) для гармоніки детермінованою:
проте в цій формулі амплітудні множники А і В - випадкові величини. При цьому умови формула (2.30) повністю відповідає визначенню випадкової гармоніки, так як її амплітуда і початкова фаза є випадковими величинами, мінливими від реалізації до реалізації випадковим чином. Зауважимо, що випадкові амплітудні множники А, В, не залежать від часу і координат простору. Це дозволяє за допомогою зазначених функцій описувати стаціонарні випадкові процеси і стаціонарно-однорідні випадкові поля. Правда, випадкові величини А і В повинні для цього володіти додатковими статистичними властивостями
2.2 У чому відмінність інтегральних форм спект...
